Calcule os limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes que o enunciado nos dá:
- A expressão é
. - Queremos o limite quando
tende a (pela esquerda e pela direita). - Para
a base é positiva, então o logaritmo natural está bem definido para esses .
Passo 2
Truque padrão para limites do tipo ``base positiva elevada a um expoente’’: escrever a potência como exponencial usando o logaritmo natural. Em geral, se
e
são funções, então
onde
é a função exponencial e
é o logaritmo natural. Aqui
e
. Aplicando isso:
Passo 3
Simplificar a expressão dentro do logaritmo usando propriedades do logaritmo. Lembrando que
e que, para
,
. Assim:
Portanto a expressão original ficou
Passo 4
Agora o problema reduz-se a calcular o limite do expoente:
Então precisamos mostrar que
Passo 5
Prova que
. Uma maneira direta é usar L’Hôpital: escreva
Quando
temos
e
, ou seja temos uma forma indeterminada
. Aplicando L’Hôpital (derivando numerador e denominador):
- derivada do numerador
é , - derivada do denominador
é .
Assim
Para
usamos
em vez de
; a mesma conta vale porque depende de
. Portanto
Passo 6
Voltando ao expoente:
Como a função exponencial é contínua, podemos passar o limite para dentro: