Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^{2}}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{x^{2}}\right)^{x}.
Informações relevantes que o enunciado nos dá:
  • A expressão é \left(\dfrac{1}{x^{2}}\right)^{x}.
  • Queremos o limite quando x tende a 0 (pela esquerda e pela direita).
  • Para x\neq 0 a base \dfrac{1}{x^{2}} é positiva, então o logaritmo natural está bem definido para esses x.

Passo 2

Truque padrão para limites do tipo ``base positiva elevada a um expoente’’: escrever a potência como exponencial usando o logaritmo natural. Em geral, se a(x)>0 e b(x) são funções, então
a(x)^{b(x)}=\exp\big(b(x)\ln(a(x))\big),
onde \exp(\cdot) é a função exponencial e \ln(\cdot) é o logaritmo natural. Aqui a(x)=\dfrac{1}{x^{2}} e b(x)=x. Aplicando isso:
\left(\dfrac{1}{x^{2}}\right)^{x}=\exp\!\left(x\ln\!\left(\dfrac{1}{x^{2}}\right)\right).

Passo 3

Simplificar a expressão dentro do logaritmo usando propriedades do logaritmo. Lembrando que \ln(a^{k})=k\ln(a) e que, para x\neq 0, \ln(x^{-2})=-2\ln|x|. Assim:
x\ln\!\left(\dfrac{1}{x^{2}}\right)=x\ln\!\left(x^{-2}\right)=x\cdot(-2\ln|x|)=-2x\ln|x|.
Portanto a expressão original ficou
\left(\dfrac{1}{x^{2}}\right)^{x}=\exp\!\big(-2x\ln|x|\big).

Passo 4

Agora o problema reduz-se a calcular o limite do expoente:
\lim_{x\to 0}-2x\ln|x|=-2\lim_{x\to 0}x\ln|x|.
Então precisamos mostrar que
\lim_{x\to 0}x\ln|x|=0.

Passo 5

Prova que \lim_{x\to 0}x\ln|x|=0. Uma maneira direta é usar L’Hôpital: escreva
x\ln|x|=\frac{\ln|x|}{1/x}.
Quando x\to 0^{+} temos \ln x\to -\infty e 1/x\to +\infty, ou seja temos uma forma indeterminada -\infty/\infty. Aplicando L’Hôpital (derivando numerador e denominador):
  • derivada do numerador \ln x é 1/x,
  • derivada do denominador 1/x é -1/x^{2}.
    Assim
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\ln x}{1/x}=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{1/x}{-1/x^{2}}=\lim_{x\to 0^{+}}(-x)=0.
Para x\to 0^{-} usamos \ln|x| em vez de \ln x; a mesma conta vale porque depende de |x|. Portanto
\lim_{x\to 0}x\ln|x|=0.

Passo 6

Voltando ao expoente:
\lim_{x\to 0}-2x\ln|x|=-2\cdot 0=0.
Como a função exponencial é contínua, podemos passar o limite para dentro:
\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{1}{x^{2}}\right)^{x}=\lim_{x\to 0}\exp\!\big(-2x\ln|x|\big)=\exp(0)=1.

Resposta

1

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