Usando a definição, demonstre os seguintes limites: \lim _{x \rightarrow 1}(2 \sqrt{x}+5)=7
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar, usando a definição de limite, que
\lim_{x\to 1}\bigl(2\sqrt{x}+5\bigr)=7.
Informações dadas e o que precisamos mostrar:
A função é f(x)=2\sqrt{x}+5.
O ponto onde o limite é tomado é x=1.
O valor candidato do limite é 7.
Precisamos provar que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-1|<\delta e x estiver no domínio (aqui x\ge 0), então |f(x)-7|<\varepsilon.
Passo 2
Lembrete da definição \varepsilon-\delta de limite (vou explicar com calma).
A afirmação \lim_{x\to 1}f(x)=7 significa:
Para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se 0<|x-1|<\delta (e x no domínio), então
|f(x)-7|<\varepsilon.
Nossa tarefa é, dado um \varepsilon>0 arbitrário, encontrar uma expressão para \delta (em função de \varepsilon) que garanta a desigualdade acima.
Passo 3
Calculemos a diferença entre a função e o valor limite proposto e façamos manipulações algébricas:
Para controlar |f(x)-7| em termos de |x-1| precisamos de um limite inferior para o denominador \sqrt{x}+1. Vamos garantir que x esteja suficientemente perto de 1 de modo que o denominador não se aproxime de zero (na verdade, aqui o denominador é sempre \ge 1 quando x\ge 0, mas vamos explicitar a escolha prática de \delta).
Escolha provisória: tome \delta_0=1. Então, se 0<|x-1|<\delta_0 temos x\in(0,2), portanto \sqrt{x}\ge 0 e
\sqrt{x}+1\ge 1.
Assim, para 0<|x-1|<1 obtemos a desigualdade simples
Agora use essa desigualdade para escolher \delta em função de \varepsilon. Queremos garantir |f(x)-7|<\varepsilon. Pela desigualdade anterior, basta garantir 2|x-1|<\varepsilon, isto é |x-1|<\varepsilon/2. Também precisamos manter a condição 0<|x-1|<1 para justificar a estimativa do passo anterior. Então podemos tomar
Verificação final (a parte típica do epsilon-delta):
Sejam \varepsilon>0 dado e \delta=\min\{1,\varepsilon/2\}. Suponha 0<|x-1|<\delta. Então em particular 0<|x-1|<1, logo x\in(0,2) e a desigualdade do passo 4 vale, produzindo
Portanto, para esse \delta a condição |f(x)-7|<\varepsilon é satisfeita sempre que 0<|x-1|<\delta. Isso é exatamente o que a definição de limite exige.
Passo 7
Conclusão escrita de forma direta e amigável: dado qualquer \varepsilon>0 escolhemos \delta=\min\{1,\varepsilon/2\}. Isso garante que, sempre que 0<|x-1|<\delta, tem-se |f(x)-7|<\varepsilon. Assim a demonstração pelo método \varepsilon-\delta está completa.