Calcule os limites.
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{2 x+3}-\sqrt{5}}{x-1}=

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Pede calcular o limite \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2x+3}-\sqrt{5}}{x-1}.
  • Observações imediatas: quando x \to 1 o numerador tende a \sqrt{2\cdot1+3}-\sqrt{5}=\sqrt{5}-\sqrt{5}=0 e o denominador tende a 1-1=0. Logo a expressão é do tipo indeterminado \tfrac{0}{0}.

Passo 2

Estratégia escolhida (por que):
  • Para eliminar a indeterminação com raízes quadradas, uma técnica simples e clássica é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador.
  • Lembrete rápido da identidade que vamos usar: para quaisquer números a e b vale \displaystyle (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}. Essa identidade permite transformar uma diferença de raízes em diferença de quadrados, que não tem mais raízes no numerador.

Passo 3

Aplicação do conjugado: multiplicar numerador e denominador por \sqrt{2x+3}+\sqrt{5}. Escrevendo isso:
\frac{\sqrt{2x+3}-\sqrt{5}}{x-1} = \frac{\sqrt{2x+3}-\sqrt{5}}{x-1}\cdot\frac{\sqrt{2x+3}+\sqrt{5}}{\sqrt{2x+3}+\sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{2x+3})^{2}-(\sqrt{5})^{2}}{(x-1)\bigl(\sqrt{2x+3}+\sqrt{5}\bigr)}.
Agora calcule os quadrados no numerador:
(\sqrt{2x+3})^{2}-(\sqrt{5})^{2}= (2x+3)-5 = 2x-2 = 2(x-1).

Passo 4

Substituindo o numerador simplificado na fração:
\frac{\sqrt{2x+3}-\sqrt{5}}{x-1} = \frac{2(x-1)}{(x-1)\bigl(\sqrt{2x+3}+\sqrt{5}\bigr)}.
Para x próximo de 1 (mas x\neq1) podemos cancelar o fator (x-1):
\frac{\sqrt{2x+3}-\sqrt{5}}{x-1} = \frac{2}{\sqrt{2x+3}+\sqrt{5}}.

Passo 5

Agora que a expressão foi simplificada para uma função contínua em x=1, calculamos o limite por substituição direta:
\lim_{x\to1}\frac{2}{\sqrt{2x+3}+\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{2\cdot1+3}+\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{5}} = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}.

Passo 6

Comentário didático extra (interpretação alternativa):
  • Essa mesma resposta pode ser vista como a derivada de f(x)=\sqrt{2x+3} em x=1, porque o limite original é exatamente o quociente diferencial \displaystyle\lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=f'(1).
  • O cálculo pela regra da cadeia daria f'(x)=\dfrac{2}{2\sqrt{2x+3}}=\dfrac{1}{\sqrt{2x+3}}, e avaliando em x=1 obtém-se f'(1)=\dfrac{1}{\sqrt{5}}.
  • Mas para uma prova sem derivadas disponíveis, a técnica do conjugado (usada acima) é a mais direta e elementar.

Resposta

\dfrac{1}{\sqrt{5}}

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