Calcule os limites.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:
- Pede calcular o limite
. - Observações imediatas: quando
o numerador tende a e o denominador tende a . Logo a expressão é do tipo indeterminado .
Passo 2
Estratégia escolhida (por que):
- Para eliminar a indeterminação com raízes quadradas, uma técnica simples e clássica é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador.
- Lembrete rápido da identidade que vamos usar: para quaisquer números
e vale . Essa identidade permite transformar uma diferença de raízes em diferença de quadrados, que não tem mais raízes no numerador.
Passo 3
Aplicação do conjugado: multiplicar numerador e denominador por
. Escrevendo isso:
Agora calcule os quadrados no numerador:
Passo 4
Substituindo o numerador simplificado na fração:
Para
próximo de
(mas
) podemos cancelar o fator
:
Passo 5
Agora que a expressão foi simplificada para uma função contínua em
, calculamos o limite por substituição direta:
Passo 6
Comentário didático extra (interpretação alternativa):
- Essa mesma resposta pode ser vista como a derivada de
em , porque o limite original é exatamente o quociente diferencial . - O cálculo pela regra da cadeia daria
, e avaliando em obtém-se . - Mas para uma prova sem derivadas disponíveis, a técnica do conjugado (usada acima) é a mais direta e elementar.