(10 pontos)
a) (1 ponto) Mostre que a equação
não é exata. 0,2
b) ( 4 pontos) Encontre um fator integrante
para a equação
de forma a transformá-la numa equação exata.
c) (1 ponto) Verifique que a função
encontrada é realmente um fator integrante.
d) ( 4 pontos) Encontre solução para a EDO que satisfaz
.
a) (1 ponto) Mostre que a equação
b) ( 4 pontos) Encontre um fator integrante
c) (1 ponto) Verifique que a função
d) ( 4 pontos) Encontre solução para a EDO que satisfaz
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados fornecidos. O enunciado apresenta a equação diferencial
e pede:
- (a) Mostrar que a equação não é exata.
- (b) Encontrar um fator integrante
que dependa somente de que torne a equação exata. - (c) Verificar que a
encontrada é realmente um fator integrante. - (d) Resolver a EDO e encontrar a solução que satisfaz
.
Informações importantes extraídas do enunciado:
- A equação pode ser escrita na forma diferencial
com e . - Há uma condição inicial
para determinar a constante de integração na solução.
Passo 2
Primeiro, vou explicar o conceito de exatidão de forma prática: uma equação diferencial na forma
é exata se existir uma função potencial
tal que
e
. Uma condição prática e rápida para verificar exatidão (quando
e
têm derivadas contínuas) é comparar as derivadas parciais cruzadas:
Se
em uma região, a equação é exata.
Aplicando isso aqui:
-
. Então
-
. Então
Comparando, vemos que
e
. Como essas derivadas não coincidem (salvo em pontos particulares), a equação NÃO é exata.
Passo 3
Agora vamos procurar um fator integrante que dependa apenas de
, ou seja
. Vou mostrar a fórmula e de onde ela vem, passo a passo:
Queremos que a equação multiplicada por
,
seja exata. A condição de exatidão será
Como
depende só de
,
Então a condição vira
Isolando
,
Note que a razão do lado direito deve depender apenas de
para que exista uma
função somente de
. Vamos calcular essa razão com nossos
e
:
-
(calculado antes), -
, -
.
Logo
Isso é uma função que depende apenas de
, ótimo — então existe um fator integrante
e ele satisfaz
Integramos ambos os lados em
:
Escolhendo a constante multiplicativa irrelevante (podemos tomar
), obtemos
Portanto um fator integrante dependente apenas de
é
.
Passo 4
Verificação direta (parte c): vou checar que, com
, a equação multiplicada fica exata.
Multiplicando
e
por
:
Calculo as derivadas parciais cruzadas:
Como as duas derivadas coincidem, a equação multiplicada por
é realmente exata. Isso verifica que
é um fator integrante válido.
Passo 5
Agora vamos resolver a equação exata
onde
e
.
Como a equação é exata, existe
tal que
Integro em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma função desconhecida de
.
Agora uso a condição
para determinar
. Calculo
:
Deve ser igual a
. Igualando:
Cancelando o termo comum
, obtém-se
Integrando em
:
Reconhecendo que
, obtemos
Assim a função potencial é
A solução geral implícita da EDO (após multiplicar pelo fator integrante) é
ou seja
Passo 6
Aplicando a condição inicial
para achar a constante
. Substituo
e
em
:
Portanto a solução particular (implícita) é
Podemos simplificar explicitando
. Observe que
. A equação torna-se
Tomando logaritmo,
logo, escolhendo o ramo que satisfaz
,
Essa é a solução explícita definida onde o argumento do logaritmo e o radicando sejam positivos.
Resposta
(a) Não é exata, pois
.\newline
(b) .\newline
(c) Sim. Após multiplicar por temos
, logo é exata.\newline
(d) Solução particular (implícita): Equivalente explicitamente (ramo positivo):
.
(b)
(c) Sim. Após multiplicar por
(d) Solução particular (implícita):