(10 pontos)
a) (1 ponto) Mostre que a equação x+\left(x^{2} y+4 y\right) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=0 não é exata. 0,2
b) ( 4 pontos) Encontre um fator integrante \mu(y) para a equação
x+\left(x^{2} y+4 y\right) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=0
de forma a transformá-la numa equação exata.
c) (1 ponto) Verifique que a função \mu(y) encontrada é realmente um fator integrante.
d) ( 4 pontos) Encontre solução para a EDO que satisfaz \mathrm{y}(1)=1.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados fornecidos. O enunciado apresenta a equação diferencial
x+\left(x^{2}y+4y\right)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0
e pede:
  • (a) Mostrar que a equação não é exata.
  • (b) Encontrar um fator integrante \mu(y) que dependa somente de y que torne a equação exata.
  • (c) Verificar que a \mu(y) encontrada é realmente um fator integrante.
  • (d) Resolver a EDO e encontrar a solução que satisfaz \mathrm{y}(1)=1.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A equação pode ser escrita na forma diferencial M(x,y)\,\mathrm{d}x+N(x,y)\,\mathrm{d}y=0 com M(x,y)=x e N(x,y)=x^{2}y+4y.
  • Há uma condição inicial \,y(1)=1 para determinar a constante de integração na solução.

Passo 2

Primeiro, vou explicar o conceito de exatidão de forma prática: uma equação diferencial na forma
M(x,y)\,\mathrm{d}x+N(x,y)\,\mathrm{d}y=0
é exata se existir uma função potencial \Phi(x,y) tal que \partial\Phi/\partial x=M e \partial\Phi/\partial y=N. Uma condição prática e rápida para verificar exatidão (quando M e N têm derivadas contínuas) é comparar as derivadas parciais cruzadas:
\frac{\partial M}{\partial y}\quad\text{e}\quad\frac{\partial N}{\partial x}.
Se \partial M/\partial y=\partial N/\partial x em uma região, a equação é exata.
Aplicando isso aqui:
  • M(x,y)=x. Então
\frac{\partial M}{\partial y}=0.
  • N(x,y)=x^{2}y+4y = y(x^{2}+4). Então
\frac{\partial N}{\partial x}=2xy.
Comparando, vemos que \partial M/\partial y=0 e \partial N/\partial x=2xy. Como essas derivadas não coincidem (salvo em pontos particulares), a equação NÃO é exata.

Passo 3

Agora vamos procurar um fator integrante que dependa apenas de y, ou seja \mu=\mu(y). Vou mostrar a fórmula e de onde ela vem, passo a passo:
Queremos que a equação multiplicada por \mu(y),
\mu(y)M(x,y)\,\mathrm{d}x+\mu(y)N(x,y)\,\mathrm{d}y=0,
seja exata. A condição de exatidão será
\frac{\partial}{\partial y}\big(\mu M\big)=\frac{\partial}{\partial x}\big(\mu N\big).
Como \mu depende só de y,
\frac{\partial}{\partial y}(\mu M)=\mu'(y)M+\mu\frac{\partial M}{\partial y}, \qquad \frac{\partial}{\partial x}(\mu N)=\mu\frac{\partial N}{\partial x}.
Então a condição vira
\mu'(y)M+\mu\frac{\partial M}{\partial y}=\mu\frac{\partial N}{\partial x}.
Isolando \mu'/\mu,
\frac{\mu'(y)}{\mu(y)}=\frac{\partial N/\partial x-\partial M/\partial y}{M}.
Note que a razão do lado direito deve depender apenas de y para que exista uma \mu função somente de y. Vamos calcular essa razão com nossos M e N:
  • \partial N/\partial x=2xy (calculado antes),
  • \partial M/\partial y=0,
  • M=x.
Logo
\frac{\partial N/\partial x-\partial M/\partial y}{M}=\frac{2xy-0}{x}=2y.
Isso é uma função que depende apenas de y, ótimo — então existe um fator integrante \mu(y) e ele satisfaz
\frac{\mu'(y)}{\mu(y)}=2y.
Integramos ambos os lados em y:
\int\frac{\mu'(y)}{\mu(y)}\,\mathrm{d}y=\int 2y\,\mathrm{d}y
\ln\mu(y)=y^{2}+C.
Escolhendo a constante multiplicativa irrelevante (podemos tomar C=0), obtemos
\mu(y)=\mathrm{e}^{y^{2}}.
Portanto um fator integrante dependente apenas de y é \mu(y)=\mathrm{e}^{y^{2}}.

Passo 4

Verificação direta (parte c): vou checar que, com \mu(y)=\mathrm{e}^{y^{2}}, a equação multiplicada fica exata.
Multiplicando M e N por \mu:
\widetilde{M}(x,y)=\mu M = x\,\mathrm{e}^{y^{2}}, \qquad \widetilde{N}(x,y)=\mu N = (x^{2}y+4y)\mathrm{e}^{y^{2}}.
Calculo as derivadas parciais cruzadas:
\frac{\partial \widetilde{M}}{\partial y}=x\cdot 2y\,\mathrm{e}^{y^{2}}=2xy\,\mathrm{e}^{y^{2}},
\frac{\partial \widetilde{N}}{\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}\big((x^{2}y+4y)\mathrm{e}^{y^{2}}\big) = (2xy)\mathrm{e}^{y^{2}}=2xy\,\mathrm{e}^{y^{2}}.
Como as duas derivadas coincidem, a equação multiplicada por \mu(y)=\mathrm{e}^{y^{2}} é realmente exata. Isso verifica que \mu é um fator integrante válido.

Passo 5

Agora vamos resolver a equação exata
\widetilde{M}(x,y)\,\mathrm{d}x+\widetilde{N}(x,y)\,\mathrm{d}y=0,
onde \widetilde{M}=x\mathrm{e}^{y^{2}} e \widetilde{N}=(x^{2}y+4y)\mathrm{e}^{y^{2}}.
Como a equação é exata, existe \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=\widetilde{M}=x\mathrm{e}^{y^{2}}.
Integro em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\int x\mathrm{e}^{y^{2}}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}x^{2}\mathrm{e}^{y^{2}}+h(y),
onde h(y) é uma função desconhecida de y.
Agora uso a condição \partial \Phi/\partial y=\widetilde{N} para determinar h(y). Calculo \partial\Phi/\partial y:
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=\frac{1}{2}x^{2}\cdot 2y\,\mathrm{e}^{y^{2}}+h'(y)=x^{2}y\,\mathrm{e}^{y^{2}}+h'(y).
Deve ser igual a \widetilde{N}=(x^{2}y+4y)\mathrm{e}^{y^{2}}=x^{2}y\,\mathrm{e}^{y^{2}}+4y\,\mathrm{e}^{y^{2}}. Igualando:
x^{2}y\,\mathrm{e}^{y^{2}}+h'(y)=x^{2}y\,\mathrm{e}^{y^{2}}+4y\,\mathrm{e}^{y^{2}}.
Cancelando o termo comum x^{2}y\,\mathrm{e}^{y^{2}}, obtém-se
h'(y)=4y\,\mathrm{e}^{y^{2}}.
Integrando em y:
h(y)=\int 4y\,\mathrm{e}^{y^{2}}\,\mathrm{d}y.
Reconhecendo que \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}(\mathrm{e}^{y^{2}})=2y\,\mathrm{e}^{y^{2}}, obtemos
h(y)=2\mathrm{e}^{y^{2}}+C.
Assim a função potencial é
\Phi(x,y)=\frac{1}{2}x^{2}\mathrm{e}^{y^{2}}+2\mathrm{e}^{y^{2}}+C =\mathrm{e}^{y^{2}}\!\left(\frac{1}{2}x^{2}+2\right)+C.
A solução geral implícita da EDO (após multiplicar pelo fator integrante) é
\Phi(x,y)=\text{const},
ou seja
\mathrm{e}^{y^{2}}\!\left(\frac{1}{2}x^{2}+2\right)=C.

Passo 6

Aplicando a condição inicial \,y(1)=1 para achar a constante C. Substituo x=1 e y=1 em \mathrm{e}^{y^{2}}\!\left(\tfrac{1}{2}x^{2}+2\right)=C:
C=\mathrm{e}^{1}\!\left(\frac{1}{2}\cdot 1^{2}+2\right)=\mathrm{e}\left(\frac{1}{2}+2\right)=\mathrm{e}\cdot\frac{5}{2}=\frac{5}{2}\mathrm{e}.
Portanto a solução particular (implícita) é
\mathrm{e}^{y^{2}}\!\left(\frac{1}{2}x^{2}+2\right)=\frac{5}{2}\mathrm{e}.
Podemos simplificar explicitando y. Observe que \tfrac{1}{2}x^{2}+2=(x^{2}+4)/2. A equação torna-se
\mathrm{e}^{y^{2}}\frac{x^{2}+4}{2}=\frac{5}{2}\mathrm{e} \quad\Rightarrow\quad \mathrm{e}^{y^{2}-1}(x^{2}+4)=5.
Tomando logaritmo,
y^{2}-1=\ln\!\left(\frac{5}{x^{2}+4}\right),
logo, escolhendo o ramo que satisfaz y(1)=1>0,
y(x)=\sqrt{\,1+\ln\!\left(\frac{5}{x^{2}+4}\right)\, }.
Essa é a solução explícita definida onde o argumento do logaritmo e o radicando sejam positivos.

Resposta

(a) Não é exata, pois \dfrac{\partial M}{\partial y}=0\neq\dfrac{\partial N}{\partial x}=2xy.\newline
(b) \displaystyle \mu(y)=\mathrm{e}^{y^{2}}.\newline
(c) Sim. Após multiplicar por \mu temos \dfrac{\partial}{\partial y}(x\mathrm{e}^{y^{2}})=2xy\mathrm{e}^{y^{2}}=\dfrac{\partial}{\partial x}\big((x^{2}y+4y)\mathrm{e}^{y^{2}}\big), logo é exata.\newline
(d) Solução particular (implícita): \displaystyle \mathrm{e}^{y^{2}}\!\left(\tfrac{1}{2}x^{2}+2\right)=\tfrac{5}{2}\mathrm{e}. Equivalente explicitamente (ramo positivo): \displaystyle y(x)=\sqrt{\,1+\ln\!\left(\dfrac{5}{x^{2}+4}\right)\,}.

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