Calcule os limites
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado o quociente
. - O parâmetro tende a
: . - A pergunta é: calcular
.
Passo 2
Lembra de um limite básico que vamos usar várias vezes:
.
A partir disso, podemos mostrar rapidamente que
A partir disso, podemos mostrar rapidamente que
Explicação:
, então
Quando
sabemos que
e
, logo o produto tende a
. Isso mostra que
.
Passo 3
Vamos reescrever a expressão de forma a usar o limite anterior. Observe que
Verificação rápida da identidade: multiplicando os três fatores as constantes e
cancelam e sobra
.
Passo 4
Agora aplicamos limites a cada fator. Pelas observações do Passo 2 temos
porque
para qualquer constante
. O terceiro fator
é constante. Usando a propriedade de que o limite do produto é o produto dos limites (quando existem e são finitos), obtemos
Passo 5
(Jeito alternativo rápido — só para ver outra estratégia)
A expressão tem forma quando
, então podemos aplicar a regra de l’Hôpital: derivando numerador e denominador,
A expressão tem forma
Pelo l’Hôpital,
Mesma resposta, só outro caminho.
Passo 6
Resumo final rapidinho: podemos usar a aproximação básica
quando
(ou o limite
), o que dá diretamente o quociente das constantes multiplicadoras dos
.