Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan (5 x)}{\tan (11 x)}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado o quociente \dfrac{\tan(5x)}{\tan(11x)}.
  • O parâmetro tende a 0: x \rightarrow 0.
  • A pergunta é: calcular \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\tan(5x)}{\tan(11x)}.

Passo 2

Lembra de um limite básico que vamos usar várias vezes: \displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
A partir disso, podemos mostrar rapidamente que
\lim_{t\to 0}\frac{\tan t}{t}=1.
Explicação: \tan t=\dfrac{\sin t}{\cos t}, então
\frac{\tan t}{t}=\frac{\sin t}{t}\cdot\frac{1}{\cos t}.
Quando t\to0 sabemos que \dfrac{\sin t}{t}\to1 e \cos t\to1, logo o produto tende a 1\cdot1=1. Isso mostra que \dfrac{\tan t}{t}\to1.

Passo 3

Vamos reescrever a expressão de forma a usar o limite anterior. Observe que
\frac{\tan(5x)}{\tan(11x)} = \left(\frac{\tan(5x)}{5x}\right) \left(\frac{11x}{\tan(11x)}\right) \left(\frac{5}{11}\right).
Verificação rápida da identidade: multiplicando os três fatores as constantes e x cancelam e sobra \dfrac{\tan(5x)}{\tan(11x)}.

Passo 4

Agora aplicamos limites a cada fator. Pelas observações do Passo 2 temos
\lim_{x\to0}\frac{\tan(5x)}{5x}=1, \qquad \lim_{x\to0}\frac{11x}{\tan(11x)}=1,
porque \dfrac{\tan(kx)}{kx}\to1 para qualquer constante k. O terceiro fator \dfrac{5}{11} é constante. Usando a propriedade de que o limite do produto é o produto dos limites (quando existem e são finitos), obtemos
\lim_{x\to0}\frac{\tan(5x)}{\tan(11x)} = 1\cdot 1\cdot\frac{5}{11}=\frac{5}{11}.

Passo 5

(Jeito alternativo rápido — só para ver outra estratégia)
A expressão tem forma \dfrac{0}{0} quando x\to0, então podemos aplicar a regra de l’Hôpital: derivando numerador e denominador,
\frac{d}{dx}\tan(5x)=5\operatorname{sec}^2(5x),\qquad \frac{d}{dx}\tan(11x)=11\operatorname{sec}^2(11x).
Pelo l’Hôpital,
\lim_{x\to0}\frac{\tan(5x)}{\tan(11x)} = \lim_{x\to0}\frac{5\operatorname{sec}^2(5x)}{11\operatorname{sec}^2(11x)} = \frac{5\cdot\operatorname{sec}^2(0)}{11\cdot\operatorname{sec}^2(0)}=\frac{5}{11}.
Mesma resposta, só outro caminho.

Passo 6

Resumo final rapidinho: podemos usar a aproximação básica \tan t\sim t quando t\to0 (ou o limite \tan t/t\to1), o que dá diretamente o quociente das constantes multiplicadoras dos x.

Resposta

\dfrac{5}{11}

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