Fatoração +
(n)
(n)
Passo 1
O enunciado pede para fatorar a expressão
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A expressão é um polinômio em
de grau . - Os termos são
e .
Passo 2
Idéia principal: procurar padrões de fatoração conhecidos. Um padrão muito útil é a diferença de quadrados:
Aqui, identifique
e
tais que
e
. Observa-se que
Portanto podemos aplicar a diferença de quadrados com
e
. Aplicando a fórmula:
Passo 3
Agora verificar se algum dos fatores pode ser fatorado mais. Olhe para
: é novamente uma diferença de quadrados, pois
Aplicando
com
,
, obtemos
Substituindo de volta, a fatoração acumulada é
Passo 4
Explicar por que parar aqui: o fator
é uma soma de quadrados. Em fatorações sobre os racionais (ou inteiros) não existe fatoração adicional para soma de quadrados do tipo
quando não há raízes reais. Para ver isso, calcule o discriminante da quadrática
:
Como
, não há raízes reais e portanto
é irredutível sobre os reais em fatores lineares com coeficientes reais. Logo, a fatoração sobre os inteiros/racionais é final.
Passo 5
Se for necessário fatorar sobre os complexos, uma soma de quadrados pode ser escrita usando
(onde
). Assim:
Portanto, sobre
a fatoração completa é
Passo 6
Verificação rápida (checagem): multiplicando os dois primeiros fatores obtemos
; multiplicando com
volta-se ao original por diferença de quadrados:
Tudo confere.
Resposta
Sobre os complexos: