Fatoração +
(n) 16 x^{4}-81

Passo 1

O enunciado pede para fatorar a expressão \,16x^{4}-81\,.
Informações dadas:
  • A expressão é um polinômio em x de grau 4.
  • Os termos são 16x^{4} e -81.

Passo 2

Idéia principal: procurar padrões de fatoração conhecidos. Um padrão muito útil é a diferença de quadrados:
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aqui, identifique a e b tais que a^{2}=16x^{4} e b^{2}=81. Observa-se que
16x^{4}=(4x^{2})^{2},\qquad 81=9^{2}.
Portanto podemos aplicar a diferença de quadrados com a=4x^{2} e b=9. Aplicando a fórmula:
16x^{4}-81=(4x^{2}-9)(4x^{2}+9).

Passo 3

Agora verificar se algum dos fatores pode ser fatorado mais. Olhe para 4x^{2}-9: é novamente uma diferença de quadrados, pois
4x^{2}=(2x)^{2},\qquad 9=3^{2}.
Aplicando a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) com a=2x, b=3, obtemos
4x^{2}-9=(2x-3)(2x+3).
Substituindo de volta, a fatoração acumulada é
16x^{4}-81=(2x-3)(2x+3)(4x^{2}+9).

Passo 4

Explicar por que parar aqui: o fator 4x^{2}+9 é uma soma de quadrados. Em fatorações sobre os racionais (ou inteiros) não existe fatoração adicional para soma de quadrados do tipo ax^{2}+b quando não há raízes reais. Para ver isso, calcule o discriminante da quadrática 4x^{2}+9=0:
\Delta = 0^{2}-4\cdot4\cdot9=-144<0.
Como \Delta<0, não há raízes reais e portanto 4x^{2}+9 é irredutível sobre os reais em fatores lineares com coeficientes reais. Logo, a fatoração sobre os inteiros/racionais é final.

Passo 5

Se for necessário fatorar sobre os complexos, uma soma de quadrados pode ser escrita usando i (onde i^{2}=-1). Assim:
4x^{2}+9=4x^{2}-(-9)=(2x)^{2}-(3i)^{2}=(2x-3i)(2x+3i).
Portanto, sobre \mathbb{C} a fatoração completa é
16x^{4}-81=(2x-3)(2x+3)(2x-3i)(2x+3i).

Passo 6

Verificação rápida (checagem): multiplicando os dois primeiros fatores obtemos 4x^{2}-9; multiplicando com 4x^{2}+9 volta-se ao original por diferença de quadrados:
(4x^{2}-9)(4x^{2}+9)=(4x^{2})^{2}-9^{2}=16x^{4}-81.
Tudo confere.

Resposta

(2x-3)(2x+3)(4x^{2}+9)
Sobre os complexos: (2x-3)(2x+3)(2x-3i)(2x+3i)

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