Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{5}-2 x^{3}}{x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede claramente o seguinte limite:
\lim_{x\to 0} \frac{x^{5}-2x^{3}}{x^{3}}.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão é uma razão entre um polinômio no numerador e x^{3} no denominador.
  • O ponto ao qual x se aproxima é 0, onde a expressão original não está definida (denominador zero), mas o limite pode existir.
    O objetivo é calcular o valor desse limite quando x tende a 0.

Passo 2

Observação importante sobre limites e simplificação: se duas funções f(x) e g(x) são iguais para todo x num entorno de a exceto possivelmente em a (isto é, f(x)=g(x) para x\neq a perto de a), então
\lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} g(x)
desde que um desses limites exista. Ou seja, podemos simplificar a expressão algébrica sempre que a simplificação for válida para x próximo de 0 (mas x\neq0) e calcular o limite da forma simplificada.

Passo 3

Fatorar o numerador para tentar simplificar. No numerador x^{5}-2x^{3} há um fator comum x^{3}. Fatando esse fator:
x^{5}-2x^{3}=x^{3}\bigl(x^{2}-2\bigr).
Explicação rápida do passo: ao fatorar, estamos escrevendo o polinômio como produto de um fator comum e outro polinômio menor, o que facilita cancelamentos.

Passo 4

Substituindo a fatoração na razão e cancelando o fator x^{3} (válido para x\neq0):
\frac{x^{5}-2x^{3}}{x^{3}}=\frac{x^{3}\bigl(x^{2}-2\bigr)}{x^{3}}=x^{2}-2\qquad\text{(para \(x\neq0\))}.
Pelo argumento do Passo 2, o limite original é igual ao limite da função simplificada x^{2}-2 quando x\to0.

Passo 5

Agora usamos a propriedade de continuidade de polinômios: todo polinômio é contínuo em todo ponto real. Para funções contínuas, o limite ao se aproximar de a é simplesmente o valor da função em a. Assim,
\lim_{x\to 0}\bigl(x^{2}-2\bigr)=0^{2}-2.
Isso finaliza a resolução algébrica do limite (o valor obtido está escrito na forma 0^{2}-2).

Passo 6

(Verificação alternativa — opcional) Poderia-se também aplicar a regra de L’Hôpital, porque a forma original é 0/0. Derivando numerador e denominador:
\text{num}'(x)=5x^{4}-6x^{2},\qquad \text{den}'(x)=3x^{2},
e simplificando a nova razão obtém-se a mesma expressão que leva, por continuidade, ao mesmo resultado final obtido acima.

Resposta

-2

Exercícios relacionados