Calcule os limites:
Passo 1
O enunciado pede claramente o seguinte limite:
Informações relevantes dadas:
- A expressão é uma razão entre um polinômio no numerador e
no denominador. - O ponto ao qual
se aproxima é , onde a expressão original não está definida (denominador zero), mas o limite pode existir.
O objetivo é calcular o valor desse limite quandotende a .
Passo 2
Observação importante sobre limites e simplificação: se duas funções
e
são iguais para todo
num entorno de
exceto possivelmente em
(isto é,
para
perto de
), então
desde que um desses limites exista. Ou seja, podemos simplificar a expressão algébrica sempre que a simplificação for válida para
próximo de
(mas
) e calcular o limite da forma simplificada.
Passo 3
Fatorar o numerador para tentar simplificar. No numerador
há um fator comum
. Fatando esse fator:
Explicação rápida do passo: ao fatorar, estamos escrevendo o polinômio como produto de um fator comum e outro polinômio menor, o que facilita cancelamentos.
Passo 4
Substituindo a fatoração na razão e cancelando o fator
(válido para
):
Pelo argumento do Passo 2, o limite original é igual ao limite da função simplificada
quando
.
Passo 5
Agora usamos a propriedade de continuidade de polinômios: todo polinômio é contínuo em todo ponto real. Para funções contínuas, o limite ao se aproximar de
é simplesmente o valor da função em
. Assim,
Isso finaliza a resolução algébrica do limite (o valor obtido está escrito na forma
).
Passo 6
(Verificação alternativa — opcional) Poderia-se também aplicar a regra de L’Hôpital, porque a forma original é
. Derivando numerador e denominador:
e simplificando a nova razão obtém-se a mesma expressão que leva, por continuidade, ao mesmo resultado final obtido acima.
Resposta
-2