Esboce o gráfico de uma função f que satisfaça domínio [-3,3], imagem [-2,2], f(0)=1, f par.

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce o gráfico de uma função f que satisfaça todas as seguintes condições:
  • Domínio: [-3,3].
  • Imagem: [-2,2] (ou seja, os valores de f devem ficar entre -2 e 2, e tanto -2 quanto 2 devem ser atingidos).
  • f(0)=1.
  • f é par (ou seja, f(-x)=f(x) para todo x do domínio).
Essas são as informações que o enunciado dá e a tarefa é desenhar/fornecer um gráfico compatível com elas.

Passo 2

Vou explicar de forma bem direta o que cada uma dessas condições significa, pra ninguém se perder:
  • Domínio [-3,3]: a função só está definida para x entre -3 e 3, incluindo as extremidades.
  • Imagem [-2,2]: os valores de f(x) têm que ficar entre -2 e 2. Como a imagem é exatamente esse intervalo, a função deve atingir o valor máximo 2 e o mínimo -2 em algum ponto do domínio.
  • f(0)=1: o ponto no eixo y quando x=0 é 1.
  • f par: o gráfico tem simetria em relação ao eixo y; o pedaço para x\ge0 determina o pedaço para x\le0.
Essas regras já guiam como construir um esboço: basta construir uma função em [0,3] que atinja 2 e -2 e tenha f(0)=1, e depois espelhar para x<0.

Passo 3

Escolha prática e simples (estratégia): vou construir uma função contínua e fácil de desenhar, feita por segmentos lineares em [0,3], que:
  • começa em (0,1),
  • sobe até (1,2) (aqui atinge o máximo 2),
  • desce até (2,-2) (aqui atinge o mínimo -2),
  • e termina em (3,0) (valor qualquer dentro do intervalo, por exemplo 0, desde que não ultrapasse [-2,2]).
    Depois eu estendo de forma par: para x<0, f(x)=f(-x). Essa construção é simples, atende todas as condições e é fácil de desenhar no papel.

Passo 4

Agora calculo as equações das retas (segmentos) em [0,3]. Para cada segmento, uso a fórmula da equação da reta a partir de dois pontos: se a reta passa por (x_1,y_1) e (x_2,y_2), a inclinação é m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} e a reta é y=y_1+m(x-x_1). Vou aplicar isso aos três segmentos:
Segmento 1: de (0,1) a (1,2).
  • Inclinação: m_1=\dfrac{2-1}{1-0}=1.
  • Equação: para 0\le x\le1, f(x)=1+1\cdot(x-0)=1+x.
Segmento 2: de (1,2) a (2,-2).
  • Inclinação: m_2=\dfrac{-2-2}{2-1}=\dfrac{-4}{1}=-4.
  • Equação: para 1<x\le2, f(x)=2-4(x-1)=6-4x.
Segmento 3: de (2,-2) a (3,0).
  • Inclinação: m_3=\dfrac{0-(-2)}{3-2}=2.
  • Equação: para 2<x\le3, f(x)=-2+2(x-2)=2x-6.
Tudo isso define uma função g em [0,3]. Para garantir que f seja par eu vou usar f(x)=g(|x|).

Passo 5

Verificações rápidas e por que a imagem é exatamente [-2,2]:
  • f(0)=1 — ok, pois no segmento 1, f(0)=1+0=1.
  • Máximo 2 é atingido em x=1 (e também em x=-1 pela paridade): f(1)=1+1=2.
  • Mínimo -2 é atingido em x=2 (e em x=-2): f(2)=6-8=-2.
  • A função é contínua por construção (retas ligadas), e o domínio é um intervalo compacto [-3,3], então a imagem é um intervalo fechado cujo menor valor é -2 e maior é 2; portanto a imagem é exatamente [-2,2].

Passo 6

Como desenhar o esboço no papel (instruções de desenho):
  1. Faça os eixos e marque x=-3,-2,-1,0,1,2,3 e y=-2,-1,0,1,2.
  2. Plote os pontos do semieixo não-negativo: (0,1), (1,2), (2,-2), (3,0).
  3. Una (0,1) a (1,2) com uma reta, (1,2) a (2,-2) com outra reta, (2,-2) a (3,0) com outra reta.
  4. Espelhe todo esse pedaço em relação ao eixo y para obter os pontos e segmentos para x<0.
  5. O resultado é um gráfico simétrico (par), contínuo, com f(0)=1 e image [-2,2].
Dica de ânimo: a construção por segmentos lineares é ótima na prova — é rápida, limpa e fácil de justificar que atende às condições. Agora, pra finalizar, apresento a definição explícita da função.

Resposta

f(x)=g(|x|),\qquad g(t)= \begin{cases} 1+t, & 0\le t\le1,\\[6pt] 6-4t, & 1<t\le2,\\[6pt] 2t-6, & 2<t\le3. \end{cases}]

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