Esboce o gráfico de uma função
que satisfaça domínio
, imagem
par.
Passo 1
O enunciado pede que eu esboce o gráfico de uma função
que satisfaça todas as seguintes condições:
- Domínio:
. - Imagem:
(ou seja, os valores de devem ficar entre e , e tanto quanto devem ser atingidos). -
. -
é par (ou seja, para todo do domínio).
Essas são as informações que o enunciado dá e a tarefa é desenhar/fornecer um gráfico compatível com elas.
Passo 2
Vou explicar de forma bem direta o que cada uma dessas condições significa, pra ninguém se perder:
- Domínio
: a função só está definida para entre e , incluindo as extremidades. - Imagem
: os valores de têm que ficar entre e . Como a imagem é exatamente esse intervalo, a função deve atingir o valor máximo e o mínimo em algum ponto do domínio. -
: o ponto no eixo quando é . -
par: o gráfico tem simetria em relação ao eixo ; o pedaço para determina o pedaço para .
Essas regras já guiam como construir um esboço: basta construir uma função em
que atinja
e
e tenha
, e depois espelhar para
.
Passo 3
Escolha prática e simples (estratégia): vou construir uma função contínua e fácil de desenhar, feita por segmentos lineares em
, que:
- começa em
, - sobe até
(aqui atinge o máximo ), - desce até
(aqui atinge o mínimo ), - e termina em
(valor qualquer dentro do intervalo, por exemplo , desde que não ultrapasse ).
Depois eu estendo de forma par: para, . Essa construção é simples, atende todas as condições e é fácil de desenhar no papel.
Passo 4
Agora calculo as equações das retas (segmentos) em
. Para cada segmento, uso a fórmula da equação da reta a partir de dois pontos: se a reta passa por
e
, a inclinação é
e a reta é
. Vou aplicar isso aos três segmentos:
Segmento 1: de
a
.
- Inclinação:
. - Equação: para
, .
Segmento 2: de
a
.
- Inclinação:
. - Equação: para
, .
Segmento 3: de
a
.
- Inclinação:
. - Equação: para
, .
Tudo isso define uma função
em
. Para garantir que
seja par eu vou usar
.
Passo 5
Verificações rápidas e por que a imagem é exatamente
:
-
— ok, pois no segmento 1, . - Máximo
é atingido em (e também em pela paridade): . - Mínimo
é atingido em (e em ): . - A função é contínua por construção (retas ligadas), e o domínio é um intervalo compacto
, então a imagem é um intervalo fechado cujo menor valor é e maior é ; portanto a imagem é exatamente .
Passo 6
Como desenhar o esboço no papel (instruções de desenho):
- Faça os eixos e marque
e . - Plote os pontos do semieixo não-negativo:
. - Una
a com uma reta, a com outra reta, a com outra reta. - Espelhe todo esse pedaço em relação ao eixo
para obter os pontos e segmentos para . - O resultado é um gráfico simétrico (par), contínuo, com
e image .
Dica de ânimo: a construção por segmentos lineares é ótima na prova — é rápida, limpa e fácil de justificar que atende às condições. Agora, pra finalizar, apresento a definição explícita da função.