Determine a imagem das funções:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a imagem (conjunto de valores assumidos) da função
dada por
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A expressão da função é
. - Não foi especificado domínio, então assumimos o domínio natural
(todos os números reais). - A base
é a exponencial usual e satisfaz para todo .
Passo 2
Analisar o expoente
. Para todo
vale que
, portanto
com igualdade somente quando
. Isso significa que o expoente
varia no intervalo
.
Passo 3
Usar o comportamento da exponencial sobre o intervalo do expoente. Como a função
é estritamente positiva e crescente em
, aplicar isso a
dá:
Logo, todos os valores de
estão entre
(não inclusive) e
(inclusive).
Passo 4
Mostrar que o valor máximo
é atingido. Como
somente em
, temos
ou seja, o supremo da imagem é
e é atingido em
.
Passo 5
Mostrar que
não é atingido, mas é limite de valores da função. Primeiro,
para todo
, então
não pertence à imagem. Em seguida, verificar que a função pode ficar arbitrariamente próxima de
: dado
com
, existe
tal que
. De forma construtiva, resolvendo
temos
Como para
temos
, o número
e existe
que produz exatamente
. Para valores muito pequenos de
pode-se escolher
grande, o que mostra que
. Portanto
é ínfimum da imagem, não é atingido.
Passo 6
Provar que todo
em
é realmente atingido pela função. Isto já foi indicado: para
toma-se
; para
escolhe-se
, que são reais porque
. Logo todo
tem pré-imagem em
.
Passo 7
Concluir o conjunto imagem: a função assume exatamente todos os valores
tais que
. Em notação de conjunto, a imagem é
.