Determine a imagem das funções:
p(x)=e^{-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a imagem (conjunto de valores assumidos) da função p dada por
p(x)=e^{-x^{2}}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A expressão da função é p(x)=e^{-x^{2}}.
  • Não foi especificado domínio, então assumimos o domínio natural \mathbb{R} (todos os números reais).
  • A base e é a exponencial usual e satisfaz e^{t}>0 para todo t\in\mathbb{R}.

Passo 2

Analisar o expoente -x^{2}. Para todo x\in\mathbb{R} vale que x^{2}\ge0, portanto
-x^{2}\le0,
com igualdade somente quando x=0. Isso significa que o expoente -x^{2} varia no intervalo (-\infty,0].

Passo 3

Usar o comportamento da exponencial sobre o intervalo do expoente. Como a função t\mapsto e^{t} é estritamente positiva e crescente em t, aplicar isso a -x^{2} dá:
\text{para todo }x\in\mathbb{R},\qquad 0<e^{-x^{2}}\le e^{0}=1.
Logo, todos os valores de p(x) estão entre 0 (não inclusive) e 1 (inclusive).

Passo 4

Mostrar que o valor máximo 1 é atingido. Como -x^{2}=0 somente em x=0, temos
p(0)=e^{0}=1,
ou seja, o supremo da imagem é 1 e é atingido em x=0.

Passo 5

Mostrar que 0 não é atingido, mas é limite de valores da função. Primeiro, e^{-x^{2}}>0 para todo x, então 0 não pertence à imagem. Em seguida, verificar que a função pode ficar arbitrariamente próxima de 0: dado y com 0<y<1, existe x tal que e^{-x^{2}}<y. De forma construtiva, resolvendo e^{-x^{2}}=y temos
-x^{2}=\ln y\quad\Rightarrow\quad x^{2}=-\ln y.
Como para 0<y<1 temos \ln y<0, o número -\ln y>0 e existe x=\pm\sqrt{-\ln y} que produz exatamente p(x)=y. Para valores muito pequenos de y pode-se escolher x grande, o que mostra que \lim_{|x|\to\infty}e^{-x^{2}}=0. Portanto 0 é ínfimum da imagem, não é atingido.

Passo 6

Provar que todo y em (0,1] é realmente atingido pela função. Isto já foi indicado: para y=1 toma-se x=0; para 0<y<1 escolhe-se x=\pm\sqrt{-\ln y}, que são reais porque -\ln y>0. Logo todo y\in(0,1] tem pré-imagem em \mathbb{R}.

Passo 7

Concluir o conjunto imagem: a função assume exatamente todos os valores y tais que 0<y\le1. Em notação de conjunto, a imagem é (0,1].

Resposta

(0,1]

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