Calcule os limites:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite quando
se aproxima de
da função racional
Informações relevantes dadas:
- A expressão é
. - O ponto de interesse é
.
Passo 2
Primeiro teste rápido: tentar substituir
diretamente para ver se a expressão já está definida ali. Substituindo,
Obtemos a forma indeterminada
, que indica que devemos manipular a expressão algébrica antes de avaliar o limite.
Passo 3
Vamos usar factorização para simplificar a expressão. Lembretes rápidos de factorização úteis:
- Diferença de quadrados:
. - Diferença de cubos:
.
Aqui temos
que é uma diferença de cubos com
e
, e
que é diferença de quadrados com
e
. Aplicando as fórmulas:
Passo 4
Substituindo as fatorações na expressão original:
Como
nas aproximações para o limite, podemos cancelar o fator comum
, obtendo a expressão simplificada
Passo 5
A expressão simplificada é um quociente de polinômios sem indeterminação no ponto
, portanto podemos avaliar o limite substituindo
:
Calculemos o numerador e o denominador:
Logo o valor é
Passo 6
Comentário final: outra forma válida seria aplicar a regra de L’Hôpital (derivando numerador e denominador) porque inicialmente tínhamos
; o resultado seria o mesmo. Usei fatoração porque é mais direta e exige apenas manipulação algébrica básica.