Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow 5} \frac{x^{3}-125}{x^{2}-25}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite quando x se aproxima de 5 da função racional
\frac{x^{3}-125}{x^{2}-25}.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão é \dfrac{x^{3}-125}{x^{2}-25}.
  • O ponto de interesse é x\to 5.

Passo 2

Primeiro teste rápido: tentar substituir x=5 diretamente para ver se a expressão já está definida ali. Substituindo,
x^{3}-125\big|_{x=5}=5^{3}-125=125-125=0,
x^{2}-25\big|_{x=5}=5^{2}-25=25-25=0.
Obtemos a forma indeterminada \dfrac{0}{0}, que indica que devemos manipular a expressão algébrica antes de avaliar o limite.

Passo 3

Vamos usar factorização para simplificar a expressão. Lembretes rápidos de factorização úteis:
  • Diferença de quadrados: \,a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
  • Diferença de cubos: \,a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}).
Aqui temos x^{3}-125 que é uma diferença de cubos com a=x e b=5, e x^{2}-25 que é diferença de quadrados com a=x e b=5. Aplicando as fórmulas:
x^{3}-125=(x-5)(x^{2}+5x+25),
x^{2}-25=(x-5)(x+5).

Passo 4

Substituindo as fatorações na expressão original:
\frac{x^{3}-125}{x^{2}-25} = \frac{(x-5)(x^{2}+5x+25)}{(x-5)(x+5)}.
Como x\neq 5 nas aproximações para o limite, podemos cancelar o fator comum (x-5), obtendo a expressão simplificada
\frac{x^{2}+5x+25}{x+5}.

Passo 5

A expressão simplificada é um quociente de polinômios sem indeterminação no ponto x=5, portanto podemos avaliar o limite substituindo x=5:
\lim_{x\to 5}\frac{x^{2}+5x+25}{x+5}=\frac{5^{2}+5\cdot 5+25}{5+5}.
Calculemos o numerador e o denominador:
5^{2}+5\cdot 5+25=25+25+25=75,
5+5=10.
Logo o valor é
\frac{75}{10}=\frac{15}{2}.

Passo 6

Comentário final: outra forma válida seria aplicar a regra de L’Hôpital (derivando numerador e denominador) porque inicialmente tínhamos 0/0; o resultado seria o mesmo. Usei fatoração porque é mais direta e exige apenas manipulação algébrica básica.

Resposta

\dfrac{15}{2}

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