Faça uma conjectura sobre o valor do limite
calculando a função
para
e
Qual a sua conclusão? De fato você está correto!!!
Passo 1
O que o problema pede e os dados que temos.
- Pede-se uma conjectura sobre o valor do limite
- Também pede calcular a função
para os valores de
e para
, usar esses cálculos para conjeturar o valor do limite e depois verificar se a conjectura está correta.
Lista dos valores que vamos usar explicitamente:
-
. -
.
Passo 2
Cálculos simples e imediatos:
e
.
- Para
e :
- Para
e qualquer :
Observação: em
a função é exatamente zero (para
). Em
o valor é independente de
.
Passo 3
Cálculos numéricos para
. Usar
.
Comentário rápido: em
a potência
já pode superar
quando
é suficientemente grande (por exemplo
acima), então
não é pequeno para todos os
.
Passo 4
Cálculos numéricos para
. Usar
.
-
(ou ). -
. -
. -
. -
.
Comentário: para
vemos que, até
,
é pequeno; para
reaparece um valor
. Ou seja, para valores moderados de
a potência pode ainda “vencer” dependendo de
.
Passo 5
Estimativas para
usando a identidade conveniente
.
- Primeiro calcule
. - Então
. Para os pedidos: -
Conclusão prática: para
todos os valores já são absurdamente pequenos (ordens de
a
) — praticamente zero para qualquer cálculo de prova sem alta precisão.
Passo 6
Estimativas grosseiras para
e
(mesma ideia:
).
- Para
tem-se , logo é cerca de a para a . Assim é da ordem de a : numericamente indistinguível de zero. - Para
tem-se , logo é cerca de a ; então é da ordem de a . Novamente, zero para todos os efeitos.
Intuição numérica: à medida que
cresce muito,
derrota qualquer potência polinomial
e a razão tende a zero.
Passo 7
Conjectura baseada nos cálculos e na intuição.
- Observação dos números: para pequenos
e grandes a razão pode ser maior que , mas a partir de suficientemente grande (como ) todos os valores já são praticamente zero e para a tendência evidente é
- Conjectura: para todo inteiro fixo
,
Passo 8
Prova rigorosa (método prático e padrão: Regra de L’Hôpital aplicada repetidas vezes).
Queremos
- Para
temos e , então a expressão é do tipo e permite aplicar a regra de L’Hôpital. - Aplicando L’Hôpital uma vez:
Ainda é
(para
), aplicar de novo. Repetindo a aplicação
vezes (cada vez diferenciando numerador e denominador) obtemos
- Agora o numerador
é constante finito e o denominador , portanto
- Conclusão:
. Logo a conjectura está correta para todo inteiro fixo .
Explicação em palavras (intuitiva): cada diferenciação reduz a potência
até virar constante, enquanto
continua sendo
após todas as diferenciações — isto mostra formalmente que o denominador cresce “muito mais” rápido.
Passo 9
Comentário final e reforço didático (vingança do exponencial).
- Computações numéricas mostraram que para
moderado a potência pode temporariamente dominar dependendo de , mas para grande o exponencial domina a qualquer polinômio fixo. - A prova com L’Hôpital é curta e sólida: aplicar a regra
vezes reduz o numerador a enquanto o denominador continua ; então o quociente tende a zero. - Portanto a afirmação é verdadeira para todo
fixo (inteiro positivo).
Resposta
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