Faça uma conjectura sobre o valor do limite
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{n}}{e^{x}}
calculando a função f(x)=x^{n} / e^{x} para x=0,1,5,10,100,1000,10000 e n= 1,2,3,4,5 Qual a sua conclusão? De fato você está correto!!!

Passo 1

O que o problema pede e os dados que temos.
  • Pede-se uma conjectura sobre o valor do limite
\lim_{x\to\infty}\frac{x^{n}}{e^{x}}.
  • Também pede calcular a função
f(x)=\frac{x^{n}}{e^{x}}
para os valores de x=0,1,5,10,100,1000,10000 e para n=1,2,3,4,5, usar esses cálculos para conjeturar o valor do limite e depois verificar se a conjectura está correta.
Lista dos valores que vamos usar explicitamente:
  • x\in\{0,1,5,10,100,1000,10000\}.
  • n\in\{1,2,3,4,5\}.

Passo 2

Cálculos simples e imediatos: x=0 e x=1.
  • Para x=0 e n\ge 1:
f(0)=\frac{0^{n}}{e^{0}}=\frac{0}{1}=0.
  • Para x=1 e qualquer n:
f(1)=\frac{1^{n}}{e^{1}}=\frac{1}{e}\approx 0,3679.
Observação: em x=0 a função é exatamente zero (para n\ge1). Em x=1 o valor é independente de n.

Passo 3

Cálculos numéricos para x=5. Usar e^{5}\approx 148{,}4131591.
  • n=1:\quad f(5)=\dfrac{5}{e^{5}}\approx 0,0336897.
  • n=2:\quad f(5)=\dfrac{25}{e^{5}}\approx 0,168448.
  • n=3:\quad f(5)=\dfrac{125}{e^{5}}\approx 0,842240.
  • n=4:\quad f(5)=\dfrac{625}{e^{5}}\approx 4,21120.
  • n=5:\quad f(5)=\dfrac{3125}{e^{5}}\approx 21,0559.
Comentário rápido: em x=5 a potência x^{n} já pode superar e^{x} quando n é suficientemente grande (por exemplo n=4,5 acima), então f(5) não é pequeno para todos os n.

Passo 4

Cálculos numéricos para x=10. Usar e^{10}\approx 22026{,}46579.
  • n=1:\quad f(10)=\dfrac{10}{e^{10}}\approx 0,0004540 (ou 4{,}53999\cdot10^{-4}).
  • n=2:\quad f(10)=\dfrac{100}{e^{10}}\approx 0,004540.
  • n=3:\quad f(10)=\dfrac{1000}{e^{10}}\approx 0,045400.
  • n=4:\quad f(10)=\dfrac{10000}{e^{10}}\approx 0,4540.
  • n=5:\quad f(10)=\dfrac{100000}{e^{10}}\approx 4,540.
Comentário: para x=10 vemos que, até n=3, f(10) é pequeno; para n=5 reaparece um valor >1. Ou seja, para valores moderados de x a potência pode ainda “vencer” dependendo de n.

Passo 5

Estimativas para x=100 usando a identidade conveniente \displaystyle f(x)=\exp\!\big(n\ln x - x\big).
  • Primeiro calcule \ln 100\approx 4{,}605170186.
  • Então \ln f(100)=n\ln 100-100. Para os n pedidos:
    • n=1:\; \ln f(100)\approx -95{,}394829814\Rightarrow f(100)\approx 3{,}6\cdot10^{-42}.
    • n=2:\; \ln f(100)\approx -90{,}789659628\Rightarrow f(100)\approx 3{,}5\cdot10^{-40}.
    • n=3:\; \ln f(100)\approx -86{,}184489442\Rightarrow f(100)\approx 3{,}4\cdot10^{-38}.
    • n=4:\; \ln f(100)\approx -81{,}579319256\Rightarrow f(100)\approx 3{,}3\cdot10^{-36}.
    • n=5:\; \ln f(100)\approx -76{,}974149070\Rightarrow f(100)\approx 3{,}3\cdot10^{-34}.
Conclusão prática: para x=100 todos os valores já são absurdamente pequenos (ordens de 10^{-34} a 10^{-42}) — praticamente zero para qualquer cálculo de prova sem alta precisão.

Passo 6

Estimativas grosseiras para x=1000 e x=10000 (mesma ideia: \ln f(x)=n\ln x - x).
  • Para x=1000 tem-se \ln 1000\approx 6{,}907755279, logo \ln f(1000)=n\cdot6{,}9077-1000 é cerca de -993 a -965 para n=1 a 5. Assim f(1000) é da ordem de 10^{-430} a 10^{-420}: numericamente indistinguível de zero.
  • Para x=10000 tem-se \ln 10000\approx 9{,}210340372, logo \ln f(10000)=n\cdot9{,}2103-10000 é cerca de -9990 a -9954; então f(10000) é da ordem de 10^{-4339} a 10^{-4323}. Novamente, zero para todos os efeitos.
Intuição numérica: à medida que x cresce muito, e^{x} derrota qualquer potência polinomial x^{n} e a razão tende a zero.

Passo 7

Conjectura baseada nos cálculos e na intuição.
  • Observação dos números: para pequenos x e n grandes a razão pode ser maior que 1, mas a partir de x suficientemente grande (como x=100) todos os valores já são praticamente zero e para x\to\infty a tendência evidente é
\frac{x^{n}}{e^{x}}\longrightarrow 0.
  • Conjectura: para todo inteiro fixo n\ge1,
\lim_{x\to\infty}\frac{x^{n}}{e^{x}}=0.

Passo 8

Prova rigorosa (método prático e padrão: Regra de L’Hôpital aplicada repetidas vezes).
Queremos
L=\lim_{x\to\infty}\frac{x^{n}}{e^{x}}.
  • Para x\to\infty temos x^{n}\to\infty e e^{x}\to\infty, então a expressão é do tipo \infty/\infty e permite aplicar a regra de L’Hôpital.
  • Aplicando L’Hôpital uma vez:
L=\lim_{x\to\infty}\frac{n x^{n-1}}{e^{x}}.
Ainda é \infty/\infty (para n\ge2), aplicar de novo. Repetindo a aplicação n vezes (cada vez diferenciando numerador e denominador) obtemos
L=\lim_{x\to\infty}\frac{n!}{e^{x}}.
  • Agora o numerador n! é constante finito e o denominador e^{x}\to\infty, portanto
\lim_{x\to\infty}\frac{n!}{e^{x}}=0.
  • Conclusão: L=0. Logo a conjectura está correta para todo inteiro fixo n\ge1.
Explicação em palavras (intuitiva): cada diferenciação reduz a potência x^{n} até virar constante, enquanto e^{x} continua sendo e^{x} após todas as diferenciações — isto mostra formalmente que o denominador cresce “muito mais” rápido.

Passo 9

Comentário final e reforço didático (vingança do exponencial).
  • Computações numéricas mostraram que para x moderado a potência pode temporariamente dominar dependendo de n, mas para x grande o exponencial domina a qualquer polinômio fixo.
  • A prova com L’Hôpital é curta e sólida: aplicar a regra n vezes reduz o numerador a n! enquanto o denominador continua e^{x}; então o quociente tende a zero.
  • Portanto a afirmação é verdadeira para todo n fixo (inteiro positivo).

Resposta

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