Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{5}+2 x^{3}}{\tan (x)-\operatorname{sen}(x)}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{x^{5}+2x^{3}}{\tan(x)-\operatorname{sen}(x)}.
Informações dadas:
  • A função no numerador é x^{5}+2x^{3}.
  • A função no denominador é \tan(x)-\operatorname{sen}(x).
    O que devemos encontrar: o valor desse limite quando x se aproxima de 0.

Passo 2

Primeiro vamos checar o tipo de indeterminação avaliando numerador e denominador em x=0.
x^{5}+2x^{3}\Big|_{x=0}=0,\qquad \tan(x)-\operatorname{sen}(x)\Big|_{x=0}=0-0=0.
Portanto temos uma forma indeterminada do tipo \dfrac{0}{0}. Isso nos diz que é necessário expandir as funções próximas a 0 (p.ex. séries de Taylor/Maclaurin) ou usar derivações (L’Hôpital). Vou usar séries de Maclaurin porque tornam claro quais termos dominam e por que o limite é finito.

Passo 3

Lembrando as expansões de Maclaurin (séries ao redor de 0) até a ordem x^{5}:
\operatorname{sen}(x)=x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120}+O(x^{7}),
\cos(x)=1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}+O(x^{6}).
A \tan(x) não é sempre memorizada, então podemos obtê‑la dividindo \operatorname{sen}(x) por \cos(x). Procuramos uma expansão
\tan(x)=a_{1}x+a_{3}x^{3}+a_{5}x^{5}+O(x^{7}),
e determinamos a_{1},a_{3},a_{5} impondo
\big(1-\tfrac{x^{2}}{2}+\tfrac{x^{4}}{24}+O(x^{6})\big)\big(a_{1}x+a_{3}x^{3}+a_{5}x^{5}\big)=x-\tfrac{x^{3}}{6}+\tfrac{x^{5}}{120}+O(x^{7}).

Passo 4

Fazendo a multiplicação e igualando coeficientes por potências de x:
  • Coeficiente de x: a_{1}=1.
  • Coeficiente de x^{3}: -\tfrac{1}{2}a_{1}+a_{3}=-\tfrac{1}{6}. Com a_{1}=1 vem a_{3}=\tfrac{1}{3}.
  • Coeficiente de x^{5}: \tfrac{1}{24}a_{1}-\tfrac{1}{2}a_{3}+a_{5}=\tfrac{1}{120}. Substituindo a_{1}=1 e a_{3}=\tfrac{1}{3},
\tfrac{1}{24}-\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{3}+a_{5}=\tfrac{1}{120}
\tfrac{1}{24}-\tfrac{1}{6}+a_{5}=\tfrac{1}{120}
\left(\tfrac{5}{120}-\tfrac{20}{120}\right)+a_{5}=\tfrac{1}{120}\quad\Rightarrow\quad -\tfrac{15}{120}+a_{5}=\tfrac{1}{120}
a_{5}=\tfrac{16}{120}=\tfrac{2}{15}.
Logo
\tan(x)=x+\tfrac{x^{3}}{3}+\tfrac{2x^{5}}{15}+O(x^{7}).

Passo 5

Agora subtraímos as séries para o denominador:
\tan(x)-\operatorname{sen}(x)=\big(x+\tfrac{x^{3}}{3}+\tfrac{2x^{5}}{15}+O(x^{7})\big)-\big(x-\tfrac{x^{3}}{6}+\tfrac{x^{5}}{120}+O(x^{7})\big).
Os termos em x se cancelam. Agrupando:
\tan(x)-\operatorname{sen}(x)=\left(\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{6}\right)x^{3}+\left(\tfrac{2}{15}-\tfrac{1}{120}\right)x^{5}+O(x^{7}).
Calculemos as frações:
\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{6}=\tfrac{1}{2},\qquad \tfrac{2}{15}-\tfrac{1}{120}=\tfrac{16-1}{120}=\tfrac{15}{120}=\tfrac{1}{8}.
Portanto
\tan(x)-\operatorname{sen}(x)=\tfrac{1}{2}x^{3}+\tfrac{1}{8}x^{5}+O(x^{7}).

Passo 6

Escrevemos o numerador em fator comum:
x^{5}+2x^{3}=x^{3}\big(2+x^{2}\big).
Assim o quociente fica
\frac{x^{5}+2x^{3}}{\tan(x)-\operatorname{sen}(x)}=\frac{x^{3}\big(2+x^{2}\big)}{x^{3}\big(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{8}x^{2}+O(x^{4})\big)}.
Podemos cancelar x^{3} (para x\neq 0) e obter
\frac{2+x^{2}}{\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{8}x^{2}+O(x^{4})}.

Passo 7

Ao fazer x\to 0, os termos com x^{2} e superiores vão para 0. Portanto o limite é o quociente dos termos constantes:
\lim_{x\to 0}\frac{2+x^{2}}{\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{8}x^{2}+O(x^{4})}=\frac{2}{\tfrac{1}{2}}=4.
Intuição rápida: como numerador e denominador têm primeiro termo não nulo proporcional a x^{3}, basta comparar os coeficientes desses x^{3}.

Resposta

4

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