Calcule os limites
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A função no numerador é
. - A função no denominador é
.
O que devemos encontrar: o valor desse limite quandose aproxima de .
Passo 2
Primeiro vamos checar o tipo de indeterminação avaliando numerador e denominador em
.
Portanto temos uma forma indeterminada do tipo
. Isso nos diz que é necessário expandir as funções próximas a
(p.ex. séries de Taylor/Maclaurin) ou usar derivações (L’Hôpital). Vou usar séries de Maclaurin porque tornam claro quais termos dominam e por que o limite é finito.
Passo 3
Lembrando as expansões de Maclaurin (séries ao redor de
) até a ordem
:
A
não é sempre memorizada, então podemos obtê‑la dividindo
por
. Procuramos uma expansão
e determinamos
impondo
Passo 4
Fazendo a multiplicação e igualando coeficientes por potências de
:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . Com vem . - Coeficiente de
: . Substituindo e ,
Logo
Passo 5
Agora subtraímos as séries para o denominador:
Os termos em
se cancelam. Agrupando:
Calculemos as frações:
Portanto
Passo 6
Escrevemos o numerador em fator comum:
Assim o quociente fica
Podemos cancelar
(para
) e obter
Passo 7
Ao fazer
, os termos com
e superiores vão para
. Portanto o limite é o quociente dos termos constantes:
Intuição rápida: como numerador e denominador têm primeiro termo não nulo proporcional a
, basta comparar os coeficientes desses
.