O diferencial de f(x, y)=x y não depende de x ?

Passo 1

O enunciado pergunta se o diferencial de f(x,y)=xy “não depende de x”. O que temos: a função f definida por f(x,y)=xy. A pergunta é essencialmente um sim/não sobre a dependência do diferencial em relação a x. (Não vamos resolver nada ainda, só identificamos o que é pedido.)

Passo 2

Definição útil e simples: se f(x,y) é diferenciável, o diferencial de f em um ponto (x,y) é a forma linear dada por
df(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\,dx+\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\,dy.
Explicando devagar:
  • \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) é a derivada parcial de f em relação a x, mantendo y fixo. É um número (que pode depender de x e y).
  • \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) é a derivada parcial em relação a y, mantendo x fixo.
  • dx e dy são os incrementos infinitesimais em x e y; pense neles como variáveis que descrevem a direção/variação em que aplicamos o diferencial.
    Outra maneira prática: para um pequeno deslocamento (h,k),
df(x,y)(h,k)=\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\,h+\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\,k,
ou seja, o diferencial é o melhor aproximador linear de f perto de (x,y).

Passo 3

Agora calculemos as parciais de f(x,y)=xy. Derivando em relação a x (tratando y como constante):
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=y.
Derivando em relação a y (tratando x como constante):
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x.
Aqui já dá uma pista: \dfrac{\partial f}{\partial x} não depende de x (é igual a y), mas \dfrac{\partial f}{\partial y} depende de x (é igual a x).

Passo 4

Substituindo na fórmula do diferencial obtemos
df(x,y)=y\,dx+x\,dy.
Interpretação direta: o diferencial é a combinação linear com coeficientes y e x. Esses coeficientes são funções do ponto (x,y): o coeficiente de dx é y (depende de y) e o coeficiente de dy é x (depende de x).

Passo 5

Respondendo à confusão provável: se alguém olhar só para \dfrac{\partial f}{\partial x}=y pode concluir “ah, a derivada parcial em x não depende de x”. Isso é verdade para a parcial. Mas o diferencial completo df inclui também \dfrac{\partial f}{\partial y}=x. Logo, mesmo que uma das parciais não dependa de x, o diferencial completo geralmente depende de x (por causa da outra parcial).

Passo 6

Exemplos numéricos para fixar a ideia:
  • Em (x,y)=(1,2) temos df(1,2)=2\,dx+1\,dy. Aqui o coeficiente do dy é 1, que vem de x=1 — portanto há dependência em x.
  • Se considerar variações apenas com dy=0 (ou seja, movimento horizontal), então df=y\,dx e esse termo não envolve x explicitamente além do possível valor de y. Mas isso é uma situação particular (uma direção específica); não altera o fato de que df como forma depende de x e de y em geral.

Passo 7

Conceitualmente: o diferencial df é uma forma que, para cada ponto (x,y), dá um mapeamento linear dos incrementos (dx,dy) para um número. Como esses coeficientes (as parciais) são funções de (x,y), o diferencial em geral depende do ponto — isto é, depende de x e de y.

Resposta

Não. df=y\,dx+x\,dy, que depende de x (e também de y).

Exercícios relacionados