O diferencial de
não depende de
?
Passo 1
O enunciado pergunta se o diferencial de
“não depende de
”. O que temos: a função
definida por
. A pergunta é essencialmente um sim/não sobre a dependência do diferencial em relação a
. (Não vamos resolver nada ainda, só identificamos o que é pedido.)
Passo 2
Definição útil e simples: se
é diferenciável, o diferencial de
em um ponto
é a forma linear dada por
Explicando devagar:
-
é a derivada parcial de em relação a , mantendo fixo. É um número (que pode depender de e ). -
é a derivada parcial em relação a , mantendo fixo. -
e são os incrementos infinitesimais em e ; pense neles como variáveis que descrevem a direção/variação em que aplicamos o diferencial.
Outra maneira prática: para um pequeno deslocamento,
ou seja, o diferencial é o melhor aproximador linear de
perto de
.
Passo 3
Agora calculemos as parciais de
. Derivando em relação a
(tratando
como constante):
Derivando em relação a
(tratando
como constante):
Aqui já dá uma pista:
não depende de
(é igual a
), mas
depende de
(é igual a
).
Passo 4
Substituindo na fórmula do diferencial obtemos
Interpretação direta: o diferencial é a combinação linear com coeficientes
e
. Esses coeficientes são funções do ponto
: o coeficiente de
é
(depende de
) e o coeficiente de
é
(depende de
).
Passo 5
Respondendo à confusão provável: se alguém olhar só para
pode concluir “ah, a derivada parcial em
não depende de
”. Isso é verdade para a parcial. Mas o diferencial completo
inclui também
. Logo, mesmo que uma das parciais não dependa de
, o diferencial completo geralmente depende de
(por causa da outra parcial).
Passo 6
Exemplos numéricos para fixar a ideia:
- Em
temos . Aqui o coeficiente do é , que vem de — portanto há dependência em . - Se considerar variações apenas com
(ou seja, movimento horizontal), então e esse termo não envolve explicitamente além do possível valor de . Mas isso é uma situação particular (uma direção específica); não altera o fato de que como forma depende de e de em geral.
Passo 7
Conceitualmente: o diferencial
é uma forma que, para cada ponto
, dá um mapeamento linear dos incrementos
para um número. Como esses coeficientes (as parciais) são funções de
, o diferencial em geral depende do ponto — isto é, depende de
e de
.
Resposta
Não.
, que depende de
(e também de
).