Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{1-12 x^{2}}{4 x^{2}+12}=

Passo 1

O enunciado pede claramente o seguinte: calcular o limite
\lim_{x\rightarrow 2}\frac{1-12x^{2}}{4x^{2}+12}.
Informações dadas:
  • A expressão é uma função racional cujos numerador e denominador são polinômios em x.
  • O ponto de interesse é x\rightarrow 2.
  • Não há outras condições no enunciado.

Passo 2

Ideia que vamos usar (explicada devagarzinho): polinômios são funções contínuas em todos os pontos, e quociente de funções contínuas é contínuo em pontos onde o denominador não é zero. Em termos de limites isso se traduz na regra:
\text{se } \lim_{x\to a} g(x)=L\neq 0 \text{ e } \lim_{x\to a} f(x)=M,\\ \text{então } \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{M}{L}.ã
Aqui f(x)=1-12x^{2} e g(x)=4x^{2}+12. Como são polinômios, basta verificar que g(2)\neq 0; se for diferente de zero, o limite é o valor da função no ponto, isto é, a substituição direta x=2.

Passo 3

Calcular o numerador no ponto x=2. Primeiro o quadrado:
x^{2}=2^{2}=4.
Multiplicando por 12:
12x^{2}=12\cdot 4=48.
Subtraindo de 1:
1-12x^{2}=1-48=-47.

Passo 4

Calcular o denominador no ponto x=2. Primeiro o quadrado (já calculado, x^{2}=4), multiplicar por 4:
4x^{2}=4\cdot 4=16.
Somar 12:
4x^{2}+12=16+12=28.

Passo 5

Verificar a condição necessária: o denominador no ponto x=2 é 28, que é diferente de zero. Portanto podemos aplicar a regra da continuidade e da divisão de limites e concluir que o limite é o quociente dos valores calculados:
\lim_{x\rightarrow 2}\frac{1-12x^{2}}{4x^{2}+12}=\frac{1-12\cdot 2^{2}}{4\cdot 2^{2}+12}=\frac{-47}{28}.

Passo 6

Verificar se a fração pode ser simplificada: 47 é primo (não tem divisores comuns com 28), então a fração -\dfrac{47}{28} já está na forma irredutível. Pronto — o limite foi encontrado por substituição direta, com checagem do denominador.

Resposta

-\dfrac{47}{28}

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