Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{(x-2)\left(4-x^{2}\right)}{x^{2}-4 x+4}

Passo 1

O enunciado pede o limite da função racional
f(x)=\frac{(x-2)\bigl(4 - x^2\bigr)}{x^2 - 4x + 4}
quando x\to2. Como ao substituir x=2 tanto o numerador quanto o denominador dão zero, temos forma indeterminada 0/0 e vamos usar fatoração e cancelamento para simplificar.

Passo 2

Vamos fatorar separadamente o denominador e o numerador. Primeiro,
x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2.
Em seguida, note que
4 - x^2 = -(x^2 - 4) = -(x-2)(x+2),
logo
(x-2)\bigl(4 - x^2\bigr) = (x-2)\bigl[-(x-2)(x+2)\bigr] = -\,(x-2)^2\,(x+2).

Passo 3

Substituindo as fatorações em f(x), obtemos para x\neq2:
f(x) =\frac{-\,(x-2)^2\,(x+2)}{(x-2)^2} =-\,(x+2).

Passo 4

A função \;g(x)=-\,(x+2) é contínua em x=2, então
\lim_{x\to2}f(x) =\lim_{x\to2}g(x) = -\,(2+2) = -4.

Resposta

-4

Exercícios relacionados