Calcule os seguintes limites (se existam):
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{1-x}{x^{2}-1}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x \rightarrow 1} \frac{1-x}{x^{2}-1}.
O conteúdo envolvido é limites de função, identificação da forma indeterminada \frac{0}{0} e fatoração de polinômios para simplificar.

Passo 2

Substituindo x=1 temos forma indeterminada:
\frac{1-1}{1^{2}-1} = \frac{0}{0}.
Para contornar isso, fatoramos o denominador como diferença de quadrados e reescrevemos o numerador:
x^{2}-1 = (x-1)(x+1), \qquad 1-x = -(x-1).
Logo,
\frac{1-x}{x^{2}-1} = \frac{-(x-1)}{(x-1)(x+1)} = -\frac{1}{x+1},\quad x\neq1.

Passo 3

Agora basta tomar o limite da expressão simplificada:
\lim_{x \to 1} -\frac{1}{x+1} = -\frac{1}{1+1} = -\frac{1}{2}.

Resposta

-\tfrac{1}{2}

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