Calcule os seguintes limites (se existam):
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{|x-4|}{x-4}.

Passo 1

O enunciado pede calcular \displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{|x-4|}{x-4}.
Esse é um limite de função que envolve valor absoluto, então vamos usar a definição por partes de |x-4|.

Passo 2

Pela definição de valor absoluto, temos
|x-4| = \begin{cases} x-4, & x\ge 4,\\\\ -(x-4), & x<4. \end{cases}

Passo 3

Como estamos interessados em x\to 2, note que para valores de x próximos de 2 temos x<4. Portanto, no entorno de 2,
|x-4| = -(x-4).
Substituindo na expressão do limite:
\frac{|x-4|}{x-4} = \frac{-(x-4)}{x-4} = -1,\quad x\neq 4.

Passo 4

Visto que para x próximo de 2 a fração é constante e igual a -1, concluímos que o limite existe e vale -1.

Resposta

-1

Exercícios relacionados