Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}-1}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to0}\frac{x\,e^{x}}{e^{x}-1}.
Esse tipo de limite envolve uma indeterminação do tipo \tfrac{0}{0} e podemos usar a Regra de L’Hôpital ou a expansão em série de Taylor de e^{x}.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada substituindo x=0:
o numerador fica 0\cdot e^{0}=0 e o denominador fica e^{0}-1=0.
Portanto, é do tipo \tfrac{0}{0}, o que justifica o uso da Regra de L’Hôpital.

Passo 3

Aplicando L’Hôpital, derivamos numerador e denominador em relação a x:
o numerador x\,e^{x} tem derivada
\frac{d}{dx}(x\,e^{x}) = e^{x} + x\,e^{x},
e o denominador e^{x}-1 tem derivada
\frac{d}{dx}(e^{x}-1) = e^{x}.
Logo o limite original passa a ser
\lim_{x\to0}\frac{e^{x} + x\,e^{x}}{e^{x}}.

Passo 4

Simplificando a fração:
\frac{e^{x} + x\,e^{x}}{e^{x}} = 1 + x.
Então
\lim_{x\to0}(1+x) = 1.

Resposta

1

Exercícios relacionados