Uma escada com 4 metros de comprimento está apoiada em uma parede, quando sua base começa a escorregar, afastando-se dela. No momento em que a base está 3,5 metros da parede, ela escorrega a uma taxa de 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
(a) A que taxa o topo da escada escorrega para baixo?
(b) A que taxa a área do triângulo formado pela escada, parede e solo, varia?
(c) A que taxa o ângulo \theta formado pela escada e pelo solo, varia?

Passo 1

O enunciado descreve uma escada de comprimento constante de 4 m, com a base a uma distância x da parede e o topo a uma altura y do chão. Sabemos que \frac{dx}{dt}=3 m/s quando x=3{,}5 m, e queremos encontrar:
(a) \frac{dy}{dt} neste instante,
(b) \frac{dA}{dt} onde A=\tfrac12xy é a área do triângulo formado pela escada, chão e parede,
(c) \frac{d\theta}{dt} onde \theta é o ângulo entre escada e chão.
Vamos usar cálculo de taxas relacionadas e as relações geométricas
x^2+y^2=4^2,\quad A=\tfrac12xy,\quad \cos\theta=\frac{x}{4}.

Passo 2

Para achar \frac{dy}{dt}, derivamos
x^2+y^2=16
em relação a t:
2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dt}=-\frac{x}{y}\,\frac{dx}{dt}.
No instante dado, x=3{,}5 e
y=\sqrt{16-3{,}5^2}=\sqrt{16-12{,}25}=\sqrt{3{,}75}=\tfrac{\sqrt{15}}{2}\,.
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\frac{dy}{dt} =-\frac{3{,}5}{\tfrac{\sqrt{15}}{2}}\cdot 3 =-\frac{3{,}5\cdot 3\cdot 2}{\sqrt{15}} =-\frac{21}{\sqrt{15}} =-\frac{21\sqrt{15}}{15} =-\frac{7\sqrt{15}}{5} \approx -5{,}42\text{ m/s}.

Passo 3

Para \frac{dA}{dt} com A=\tfrac12xy, usamos
\frac{dA}{dt} =\tfrac12\Bigl(x\frac{dy}{dt}+y\frac{dx}{dt}\Bigr).
Substituindo x=3{,}5, y=\tfrac{\sqrt{15}}{2}, \frac{dx}{dt}=3 e \frac{dy}{dt}=-\frac{21}{\sqrt{15}}, obtemos
\frac{dA}{dt} =\tfrac12\Bigl(3{,}5\cdot\bigl(-\tfrac{21}{\sqrt{15}}\bigr)+\tfrac{\sqrt{15}}{2}\cdot3\Bigr) =-\frac{17\sqrt{15}}{10} \approx -6{,}58\text{ m}^2\!/s.

Passo 4

Para \frac{d\theta}{dt}, usamos \cos\theta=x/4. Derivando,
-\sin\theta\;\frac{d\theta}{dt} =\frac{1}{4}\,\frac{dx}{dt} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d\theta}{dt} =-\frac{\frac{dx}{dt}}{4\sin\theta}.
Mas \sin\theta=y/4=\tfrac{\sqrt{15}}{2}/4=\tfrac{\sqrt{15}}{8}. Então
\frac{d\theta}{dt} =-\frac{3}{4\cdot\frac{\sqrt{15}}{8}} =-\frac{3}{\tfrac{\sqrt{15}}{2}} =-\frac{6}{\sqrt{15}} =-\frac{6\sqrt{15}}{15} =-\frac{2\sqrt{15}}{5} \approx -1{,}55\text{ rad/s}.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{dy}{dt}=-\frac{7\sqrt{15}}{5}\approx -5{,}42 m/s
(b) \displaystyle \frac{dA}{dt}=-\frac{17\sqrt{15}}{10}\approx -6{,}58 m^{2}/s
(c) \displaystyle \frac{d\theta}{dt}=-\frac{2\sqrt{15}}{5}\approx -1{,}55 rad/s

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