Determine os pontos críticos das funções abaixo:
f(x)=x^{2 / 3}(x+2)

Passo 1

Estamos com a função
f(x)=x^{2/3}(x+2),
definida para todo x\in\mathbb{R}. Queremos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de x onde a derivada f'(x) é zero ou não existe. Para isso vamos usar a regra do produto e depois investigar zeros do numerador e pontos onde o denominador se anula.

Passo 2

Aplicando a regra do produto a
f(x)=u(x)\,v(x) \quad\text{com}\quad u(x)=x^{2/3},\;v(x)=x+2,
temos
u'(x)=\frac{2}{3}x^{-1/3}, \quad v'(x)=1,
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f'(x) =u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x) =\frac{2}{3}x^{-1/3}(x+2)+x^{2/3}\cdot1.

Passo 3

Para simplificar, escrevemos x^{2/3}=x\cdot x^{-1/3} e colocamos tudo sobre o mesmo denominador:
f'(x) =\frac{2(x+2)}{3\,x^{1/3}}+\frac{3x}{3\,x^{1/3}} =\frac{2(x+2)+3x}{3\,x^{1/3}} =\frac{5x+4}{3\,x^{1/3}}.

Passo 4

Os pontos onde f'(x)=0 ocorrem quando o numerador se anula:
5x+4=0 \quad\Longrightarrow\quad x=-\tfrac{4}{5}.

Passo 5

A derivada não existe quando o denominador é zero, ou seja, quando
x^{1/3}=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0.
Como f está definida em x=0, incluímos este ponto como crítico.

Resposta

Os pontos críticos de f(x) são
x=-\tfrac{4}{5} \quad\text{e}\quad x=0.

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