Calcule os limites.
6:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(3 x)}{x}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin(3x)}{x}.
Observamos que, ao substituir x=0, obtemos uma indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}. Para resolver isso, vamos usar o limite fundamental \displaystyle \lim_{u\rightarrow 0}\frac{\sin(u)}{u}=1.

Passo 2

Defina u = 3x. Assim, quando x\rightarrow 0, temos u\rightarrow 0 e a expressão pode ser reescrita como
\frac{\sin(3x)}{x} = \frac{\sin(u)}{u}\,\cdot 3.

Passo 3

Aplicando o limite fundamental ao fator \tfrac{\sin(u)}{u}, obtemos
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin(3x)}{x} = \lim_{u\rightarrow 0}\frac{\sin(u)}{u}\,\cdot 3 = 1\cdot 3 = 3.

Resposta

3

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