Calcule os limites
Passo 1
O enunciado pede que calculemos o valor do limite
Informações dadas:
- A expressão é
. - O limite é quando
tende a (ou seja, é um número muito negativo). - Devemos encontrar o valor numérico desse limite.
Passo 2
Observação inicial e motivo de manipular a expressão: ao fazermos
temos que
é grande em módulo e negativo, e
também é grande (positiva). Então a expressão é uma soma de duas quantidades grandes com sinais opostos — isso é uma forma indeterminada do tipo “infinito menos infinito”. Para resolver, precisamos reescrever a expressão de modo que a grandeza dos termos se cancele de forma explícita e possamos tirar o limite.
Passo 3
Aplicamos o truque do conjugado (racionalização): multiplica-se por
, que vale
. Assim,
No numerador temos uma diferença de quadrados:
Portanto a expressão fica
Passo 4
Agora simplificamos o denominador usando a propriedade da raiz quadrada: para
,
Como estamos fazendo
, para
suficientemente negativo temos
. Logo
Substituindo isso no denominador:
Passo 5
Voltando à expressão obtida no Passo 3 e fazendo a substituição do Passo 4, temos (para
não nulo)
Agora podemos aplicar regras de limite: quando
temos
, e pela continuidade da função raiz quadrada
Assim o denominador tende a
.
Passo 6
Concluímos então que o limite é