Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(x+\sqrt{x^{2}+2 x}\right)

Passo 1

O enunciado pede que calculemos o valor do limite
\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(x+\sqrt{x^{2}+2x}\right).
Informações dadas:
  • A expressão é x+\sqrt{x^{2}+2x}.
  • O limite é quando x tende a -\infty (ou seja, x é um número muito negativo).
  • Devemos encontrar o valor numérico desse limite.

Passo 2

Observação inicial e motivo de manipular a expressão: ao fazermos \displaystyle x\to -\infty temos que x é grande em módulo e negativo, e \sqrt{x^{2}+2x} também é grande (positiva). Então a expressão é uma soma de duas quantidades grandes com sinais opostos — isso é uma forma indeterminada do tipo “infinito menos infinito”. Para resolver, precisamos reescrever a expressão de modo que a grandeza dos termos se cancele de forma explícita e possamos tirar o limite.

Passo 3

Aplicamos o truque do conjugado (racionalização): multiplica-se por \dfrac{x-\sqrt{x^{2}+2x}}{x-\sqrt{x^{2}+2x}}, que vale 1. Assim,
x+\sqrt{x^{2}+2x} = \frac{\bigl(x+\sqrt{x^{2}+2x}\bigr)\bigl(x-\sqrt{x^{2}+2x}\bigr)}{x-\sqrt{x^{2}+2x}}.
No numerador temos uma diferença de quadrados:
\bigl(x+\sqrt{x^{2}+2x}\bigr)\bigl(x-\sqrt{x^{2}+2x}\bigr) = x^{2} - \bigl(x^{2}+2x\bigr) = -2x.
Portanto a expressão fica
x+\sqrt{x^{2}+2x} = \frac{-2x}{\,x-\sqrt{x^{2}+2x}\,}.

Passo 4

Agora simplificamos o denominador usando a propriedade da raiz quadrada: para x\neq 0,
\sqrt{x^{2}+2x} = |x|\sqrt{1+\frac{2}{x}}.
Como estamos fazendo x\rightarrow -\infty, para x suficientemente negativo temos |x|=-x. Logo
\sqrt{x^{2}+2x} = -x\sqrt{1+\frac{2}{x}}.
Substituindo isso no denominador:
x-\sqrt{x^{2}+2x} = x - \bigl(-x\sqrt{1+\tfrac{2}{x}}\bigr) = x + x\sqrt{1+\tfrac{2}{x}} = x\Bigl(1+\sqrt{1+\tfrac{2}{x}}\Bigr).

Passo 5

Voltando à expressão obtida no Passo 3 e fazendo a substituição do Passo 4, temos (para x não nulo)
x+\sqrt{x^{2}+2x} = \frac{-2x}{x\bigl(1+\sqrt{1+\tfrac{2}{x}}\bigr)} = \frac{-2}{\,1+\sqrt{1+\tfrac{2}{x}}\,}.
Agora podemos aplicar regras de limite: quando x\rightarrow -\infty temos \tfrac{2}{x}\rightarrow 0, e pela continuidade da função raiz quadrada
\sqrt{1+\tfrac{2}{x}}\longrightarrow \sqrt{1+0}=1.
Assim o denominador tende a 1+1=2.

Passo 6

Concluímos então que o limite é
\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(x+\sqrt{x^{2}+2x}\right) = \frac{-2}{2} = -1.

Resposta

-1

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