Determine as assíntotas horizontais e verticais de
Passo 1
Dado: a função
.
Pedido: determinar as assíntotas verticais e as assíntotas horizontais de .
Informações relevantes tiradas do enunciado: a raiz quadrada está definida para todo
. A expressão do denominador é
, que pode anular-se para algum
(isso é relevante para possíveis assíntotas verticais).
Pedido: determinar as assíntotas verticais e as assíntotas horizontais de
Informações relevantes tiradas do enunciado: a raiz quadrada
Passo 2
Conceito e critério prático para assíntota vertical (aula rápida e simpática): uma reta vertical
é assíntota vertical de
se, ao nos aproximarmos de
por valores à esquerda ou à direita de
, a função tende a
ou
. Na prática, isso costuma ocorrer quando o denominador de uma fração tende a zero enquanto o numerador tende a um número finito e não nulo. Portanto, primeiro achamos onde o denominador se anula resolvendo
.
Resolvendo
:
Esse
é candidato a assíntota vertical; agora precisamos checar o numerador em
e os limites laterais.
Passo 3
Avaliação do numerador em
(não pule essa verificação!): usamos a própria expressão da função.
Esse valor é positivo e diferente de zero. Logo, quando
o numerador tende a um número finito e não nulo, enquanto o denominador tende a zero — condição típica de assíntota vertical. Mas para caracterizar o comportamento (para
ou
) precisamos dos limites laterais.
Passo 4
Calcular os limites laterais em
. Observação simples e importante: o numerador
é sempre não negativo; perto de
ele é aproximadamente
. O sinal do denominador
depende de
estar à direita ou à esquerda de
:
- Se
então (denominador positivo e pequeno quando está muito próximo de pela direita). - Se
então (denominador negativo e pequeno quando está muito próximo de pela esquerda).
Portanto,
porque numerador positivo dividido por denominador pequeno e positivo fica muito grande positivo; e
porque numerador positivo dividido por denominador pequeno e negativo dá grande negativo. Conclusão:
é realmente uma assíntota vertical, com comportamento
pela direita e
pela esquerda.
Passo 5
Conceito e critério prático para assíntota horizontal (aula rápida e leve): uma reta horizontal
é assíntota horizontal se
ou/ e
. Para funções do tipo razão entre expressões envolvendo
grandes, normalmente dividimos numerador e denominador por uma potência de
adequada ou usamos o comportamento assintótico da raiz
.
Importante: para
temos
, então
. Vamos calcular
de forma algébrica:
Agora fatoramos
no denominador ou dividimos numerador e denominador por
:
Ao tomar
temos
e
, então:
Logo
é uma assíntota horizontal à direita.
Passo 6
Agora o caso
. Atenção ao detalhe do valor absoluto: para
temos
, e
. Substituindo em
,
Fatorando
no denominador (note que
é negativo, mas a fatoração algébrica vale):
Ao tomar
temos novamente
e
, portanto
Logo
é assíntota horizontal à esquerda. Não há nenhuma outra assíntota horizontal/oblíqua, porque os limites nas infintas mostram que a função tende a constantes diferentes nos dois lados.
Resposta
Assíntota vertical:
Assíntotas horizontais: e
Assíntotas horizontais: