Determine as assíntotas horizontais e verticais de f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}+3}}{2 x-3}

Passo 1

Dado: a função f(x)=\dfrac{\sqrt{x^{2}+3}}{2x-3}.
Pedido: determinar as assíntotas verticais e as assíntotas horizontais de f.
Informações relevantes tiradas do enunciado: a raiz quadrada \sqrt{x^{2}+3} está definida para todo x\in\mathbb{R}. A expressão do denominador é 2x-3, que pode anular-se para algum x (isso é relevante para possíveis assíntotas verticais).

Passo 2

Conceito e critério prático para assíntota vertical (aula rápida e simpática): uma reta vertical x=a é assíntota vertical de f se, ao nos aproximarmos de x por valores à esquerda ou à direita de a, a função tende a +\infty ou -\infty. Na prática, isso costuma ocorrer quando o denominador de uma fração tende a zero enquanto o numerador tende a um número finito e não nulo. Portanto, primeiro achamos onde o denominador se anula resolvendo 2x-3=0.
Resolvendo 2x-3=0:
2x-3=0 \implies 2x=3 \implies x=\dfrac{3}{2}.
Esse x=\dfrac{3}{2} é candidato a assíntota vertical; agora precisamos checar o numerador em x=\dfrac{3}{2} e os limites laterais.

Passo 3

Avaliação do numerador em x=\dfrac{3}{2} (não pule essa verificação!): usamos a própria expressão da função.
\sqrt{\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}+3}=\sqrt{\dfrac{9}{4}+3}=\sqrt{\dfrac{9}{4}+\dfrac{12}{4}}=\sqrt{\dfrac{21}{4}}=\dfrac{\sqrt{21}}{2}.
Esse valor é positivo e diferente de zero. Logo, quando x\to\dfrac{3}{2} o numerador tende a um número finito e não nulo, enquanto o denominador tende a zero — condição típica de assíntota vertical. Mas para caracterizar o comportamento (para +\infty ou -\infty) precisamos dos limites laterais.

Passo 4

Calcular os limites laterais em x=\dfrac{3}{2}. Observação simples e importante: o numerador \sqrt{x^{2}+3} é sempre não negativo; perto de x=\dfrac{3}{2} ele é aproximadamente \dfrac{\sqrt{21}}{2}>0. O sinal do denominador 2x-3 depende de x estar à direita ou à esquerda de \dfrac{3}{2}:
  • Se x>\dfrac{3}{2} então 2x-3>0 (denominador positivo e pequeno quando x está muito próximo de \dfrac{3}{2} pela direita).
  • Se x<\dfrac{3}{2} então 2x-3<0 (denominador negativo e pequeno quando x está muito próximo de \dfrac{3}{2} pela esquerda).
Portanto,
\lim_{x\to\left(\frac{3}{2}\right)^{+}} f(x)=\lim_{x\to\left(\frac{3}{2}\right)^{+}}\dfrac{\sqrt{x^{2}+3}}{2x-3}=+\infty,
porque numerador positivo dividido por denominador pequeno e positivo fica muito grande positivo; e
\lim_{x\to\left(\frac{3}{2}\right)^{-}} f(x)=\lim_{x\to\left(\frac{3}{2}\right)^{-}}\dfrac{\sqrt{x^{2}+3}}{2x-3}=-\infty,
porque numerador positivo dividido por denominador pequeno e negativo dá grande negativo. Conclusão: x=\dfrac{3}{2} é realmente uma assíntota vertical, com comportamento f\to+\infty pela direita e f\to-\infty pela esquerda.

Passo 5

Conceito e critério prático para assíntota horizontal (aula rápida e leve): uma reta horizontal y=L é assíntota horizontal se \lim_{x\to\infty} f(x)=L ou/ e \lim_{x\to-\infty} f(x)=L. Para funções do tipo razão entre expressões envolvendo x grandes, normalmente dividimos numerador e denominador por uma potência de x adequada ou usamos o comportamento assintótico da raiz \sqrt{x^{2}+3}.
Importante: para x\to\infty temos x>0, então \sqrt{x^{2}+3}=x\sqrt{1+\dfrac{3}{x^{2}}}. Vamos calcular \lim_{x\to\infty} f(x) de forma algébrica:
f(x)=\dfrac{\sqrt{x^{2}+3}}{2x-3}=\dfrac{x\sqrt{1+\dfrac{3}{x^{2}}}}{2x-3}.
Agora fatoramos x no denominador ou dividimos numerador e denominador por x:
f(x)=\dfrac{x\sqrt{1+\dfrac{3}{x^{2}}}}{x\left(2-\dfrac{3}{x}\right)}=\dfrac{\sqrt{1+\dfrac{3}{x^{2}}}}{2-\dfrac{3}{x}}.
Ao tomar x\to\infty temos \dfrac{3}{x^{2}}\to 0 e \dfrac{3}{x}\to 0, então:
\lim_{x\to\infty} f(x)=\dfrac{\sqrt{1+0}}{2-0}=\dfrac{1}{2}.
Logo y=\dfrac{1}{2} é uma assíntota horizontal à direita.

Passo 6

Agora o caso x\to -\infty. Atenção ao detalhe do valor absoluto: para x<0 temos |x|=-x, e \sqrt{x^{2}+3}=|x|\sqrt{1+\dfrac{3}{x^{2}}}=-x\sqrt{1+\dfrac{3}{x^{2}}}. Substituindo em f,
f(x)=\dfrac{-x\sqrt{1+\dfrac{3}{x^{2}}}}{2x-3}.
Fatorando x no denominador (note que x é negativo, mas a fatoração algébrica vale):
f(x)=\dfrac{-x\sqrt{1+\dfrac{3}{x^{2}}}}{x\left(2-\dfrac{3}{x}\right)}=-\dfrac{\sqrt{1+\dfrac{3}{x^{2}}}}{2-\dfrac{3}{x}}.
Ao tomar x\to -\infty temos novamente \dfrac{3}{x^{2}}\to 0 e \dfrac{3}{x}\to 0, portanto
\lim_{x\to -\infty} f(x)=-\dfrac{\sqrt{1+0}}{2-0}=-\dfrac{1}{2}.
Logo y=-\dfrac{1}{2} é assíntota horizontal à esquerda. Não há nenhuma outra assíntota horizontal/oblíqua, porque os limites nas infintas mostram que a função tende a constantes diferentes nos dois lados.

Resposta

Assíntota vertical: x=\dfrac{3}{2}
Assíntotas horizontais: y=\dfrac{1}{2} e y=-\dfrac{1}{2}

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