Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \operatorname{sen} x \ln x

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to 0^{+}} \operatorname{sen} x \ln x.
Informações dadas/observações iniciais:
  • A variável x tende para 0 pela direita, ou seja, x>0 pequeno.
  • Para x>0 pequeno temos \ln x\to -\infty.
  • Para x pequeno e positivo temos \operatorname{sen} x>0 e \operatorname{sen} x\sim x (ou seja, \operatorname{sen} x é da ordem de x quando x\to0).
    A pergunta é: qual é o valor numérico do limite acima?

Passo 2

Estratégia: o produto \operatorname{sen} x\ln x é um caso clássico de tipo "coisa que vai para 0" vezes "coisa que vai para -\infty". Vou transformar e usar desigualdades simples para comparar com algo cujo limite é conhecido. Em particular, usarei a desigualdade básica válida para x\ge 0:
|\operatorname{sen} x|\le x.
Essa desigualdade é intuitiva (no vizinho de 0, o seno cresce no máximo linearmente) e é suficiente para encadear uma desigualdade útil.

Passo 3

Aplicando a desigualdade para x>0 pequeno:
\big|\operatorname{sen} x \ln x\big| = |\ln x|\,|\operatorname{sen} x| \le |\ln x|\,x.
Portanto, se eu conseguir mostrar que
\lim_{x\to 0^{+}} x|\ln x| = 0,
seguirá por desigualdade e pelo Teorema do Confronto que \lim_{x\to0^{+}} \operatorname{sen} x\ln x = 0.

Passo 4

Mostrar \lim_{x\to 0^{+}} x|\ln x| = 0. Note que para x\in(0,1) tem |\ln x|=-\ln x. Faço a mudança de variável t=\dfrac{1}{x}. Quando x\to 0^{+} temos t\to +\infty. Observe:
x|\ln x| = x(-\ln x) = -\frac{\ln x}{1/x} = \frac{\ln t}{t},
pois \ln t=\ln(1/x)=-\ln x e t=1/x. Então basta mostrar que
\lim_{t\to+\infty}\frac{\ln t}{t}=0.

Passo 5

Cálculo do limite \lim_{t\to+\infty}\dfrac{\ln t}{t} usando regra de L’Hôpital (situação \dfrac{\infty}{\infty}). As funções \ln t e t são diferenciáveis para t>0 e:
\frac{d}{dt}(\ln t)=\frac{1}{t},\qquad \frac{d}{dt}(t)=1.
Aplicando L’Hôpital:
\lim_{t\to+\infty}\frac{\ln t}{t}=\lim_{t\to+\infty}\frac{1/t}{1}=\lim_{t\to+\infty}\frac{1}{t}=0.
Logo \lim_{x\to 0^{+}} x|\ln x|=0.

Passo 6

Voltando à desigualdade do Passo 3:
\big|\operatorname{sen} x \ln x\big|\le x|\ln x|
e como o lado direito tende para 0 quando x\to0^{+}, pelo Teorema do Confronto segue que
\lim_{x\to0^{+}}\operatorname{sen} x\ln x = 0.
Observação de sinal: para x\in(0,1) temos \operatorname{sen} x>0 e \ln x<0, logo o produto é negativo; portanto a função tende a 0 pela esquerda (ou seja, tende a 0 com valores negativos), mas o limite numérico é 0.

Resposta

0

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