Calcule os limites: \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \operatorname{sen} x \ln x
Passo 1
O enunciado pede o limite
\lim_{x\to 0^{+}} \operatorname{sen} x \ln x.
Informações dadas/observações iniciais:
A variável x tende para 0 pela direita, ou seja, x>0 pequeno.
Para x>0 pequeno temos \ln x\to -\infty.
Para x pequeno e positivo temos \operatorname{sen} x>0 e \operatorname{sen} x\sim x (ou seja, \operatorname{sen} x é da ordem de x quando x\to0).
A pergunta é: qual é o valor numérico do limite acima?
Passo 2
Estratégia: o produto \operatorname{sen} x\ln x é um caso clássico de tipo "coisa que vai para 0" vezes "coisa que vai para -\infty". Vou transformar e usar desigualdades simples para comparar com algo cujo limite é conhecido. Em particular, usarei a desigualdade básica válida para x\ge 0:
|\operatorname{sen} x|\le x.
Essa desigualdade é intuitiva (no vizinho de 0, o seno cresce no máximo linearmente) e é suficiente para encadear uma desigualdade útil.
seguirá por desigualdade e pelo Teorema do Confronto que \lim_{x\to0^{+}} \operatorname{sen} x\ln x = 0.
Passo 4
Mostrar \lim_{x\to 0^{+}} x|\ln x| = 0. Note que para x\in(0,1) tem |\ln x|=-\ln x. Faço a mudança de variável t=\dfrac{1}{x}. Quando x\to 0^{+} temos t\to +\infty. Observe:
pois \ln t=\ln(1/x)=-\ln x e t=1/x. Então basta mostrar que
\lim_{t\to+\infty}\frac{\ln t}{t}=0.
Passo 5
Cálculo do limite \lim_{t\to+\infty}\dfrac{\ln t}{t} usando regra de L’Hôpital (situação \dfrac{\infty}{\infty}). As funções \ln t e t são diferenciáveis para t>0 e:
e como o lado direito tende para 0 quando x\to0^{+}, pelo Teorema do Confronto segue que
\lim_{x\to0^{+}}\operatorname{sen} x\ln x = 0.
Observação de sinal: para x\in(0,1) temos \operatorname{sen} x>0 e \ln x<0, logo o produto é negativo; portanto a função tende a 0 pela esquerda (ou seja, tende a 0 com valores negativos), mas o limite numérico é 0.