(3,0 pontos) Considere a função
. Use o seguinte roteiro para esboçar o gráfico da função:
(a) domínio,
(b) intersecções com os eixos coordenados,
(c) simetria,
(d) assíntotas verticais e horizontais,
(e) intervalos de crescimento e de decrescimento,
(f) valores máximo e mínimo locais,
(g) concavidade e pontos de inflexão,
(h) esboço da curva mediante as informações anteriores.
(a) domínio,
(b) intersecções com os eixos coordenados,
(c) simetria,
(d) assíntotas verticais e horizontais,
(e) intervalos de crescimento e de decrescimento,
(f) valores máximo e mínimo locais,
(g) concavidade e pontos de inflexão,
(h) esboço da curva mediante as informações anteriores.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede, passo a passo, para obter:
(a) domínio;
(b) intersecções com os eixos coordenados;
(c) simetria;
(d) assíntotas verticais e horizontais;
(e) intervalos de crescimento e de decrescimento;
(f) valores máximo e mínimo locais;
(g) concavidade e pontos de inflexão;
(h) esboço da curva usando as informações anteriores.
Não há outras informações numéricas no enunciado além da própria definição de .
(a) domínio;
(b) intersecções com os eixos coordenados;
(c) simetria;
(d) assíntotas verticais e horizontais;
(e) intervalos de crescimento e de decrescimento;
(f) valores máximo e mínimo locais;
(g) concavidade e pontos de inflexão;
(h) esboço da curva usando as informações anteriores.
Não há outras informações numéricas no enunciado além da própria definição de
Passo 2
Domínio. Para achar o domínio de uma função racional, eu preciso garantir que o denominador não seja zero, porque divisão por zero não é permitida. Aqui o denominador é
. Então imponho
, ou seja
. Portanto o domínio é
Isso significa que posso avaliar
em qualquer real, exceto em
.
Passo 3
Intersecções com os eixos.
- Intersecção com o eixo
(zerar ): resolvo .
(verificar que
pertence ao domínio, o que é verdade). Logo existe uma intersecção em
, que corresponde ao ponto
.
- Intersecção com o eixo
: é . Já calculamos . Portanto a intersecção com o eixo também é o ponto .
Resumo: a única intersecção com os eixos é o ponto
.
Passo 4
Simetria.
Testo se a função é par ( ) ou ímpar (
) ou nenhuma das duas. Calculo
:
Testo se a função é par (
Compare com
e com
. Observa-se que
não é igual nem a
nem a
em geral. Portanto não é função par nem ímpar; não há simetria de paridade simples em relação à origem ou ao eixo
.
Passo 5
Assíntotas verticais e horizontais.
- Assíntota vertical: quando o denominador se anula e o numerador não anula de forma a cancelar, normalmente há uma assíntota vertical. Aqui em
o denominador zera e o numerador vale , logo existe assíntota vertical em . Analisando os limites laterais:
- Assíntota horizontal: analiso
. Uma forma prática é dividir por ou reescrever a função:
Assim fica claro que
Logo existe assíntota horizontal
. Posso também verificar de que lado a função se aproxima de
: como
, para
temos
(aproxima-se por cima) e para
temos
(aproxima-se por baixo).
Resumo: assíntota vertical
; assíntota horizontal
.
Passo 6
Forma e interpretação geométrica (dica útil para esboço).
A reescrita mostra que a curva é a hipérbole padrão
transladada: centro efetivo em
, com assíntotas horizontais e verticais em
e
. Essa observação ajuda a desenhar: teremos duas “ramos” hiperbólicos, um para
e outro para
.
A reescrita
Passo 7
Derivada e monotonicidade: cálculo de
.
Para estudar crescimento e decrescimento uso a derivada. Parto da forma . Derivando:
Para estudar crescimento e decrescimento uso a derivada. Parto da forma
Observações sobre esse resultado:
- O denominador
é sempre positivo para . - O sinal do numerador é negativo, logo
para todo do domínio.
Conclusão:
é estritamente decrescente em cada intervalo do domínio. Escrevendo os intervalos:
Passo 8
Extremos locais.
Para existir máximo ou mínimo local é preciso que a derivada se anule em um ponto do domínio ou que a derivada mude de sinal em torno de um ponto crítico. Aqui nunca é zero (é sempre negativa) e só é indefinida em
, que não pertence ao domínio. Assim não há pontos em que
dentro do domínio, e o sinal de
não muda (continua negativo em cada ramo). Portanto:
Para existir máximo ou mínimo local é preciso que a derivada se anule em um ponto do domínio ou que a derivada mude de sinal em torno de um ponto crítico. Aqui
- Não existem máximos locais nem mínimos locais em
.
Passo 9
Concavidade e pontos de inflexão: cálculo de
.
Derivo novamente :
Derivo novamente
Análise do sinal de
:
- Para
tem-se então : função côncava para cima em . - Para
tem-se então : função côncava para baixo em .
Pontos de inflexão são pontos do domínio onde a concavidade muda de sinal ou onde
. Aqui
nunca é zero (é indefinida em
), e a troca de concavidade ocorre em
que NÃO pertence ao domínio. Portanto não há pontos de inflexão no domínio de
.
Passo 10
Comportamento local e pontos auxiliares para o esboço.
Recolhendo comportamentos importantes que ajudam a desenhar:
Recolhendo comportamentos importantes que ajudam a desenhar:
- Assíntotas:
(vertical) e (horizontal). - Intersecção:
. - Limites perto de
: , . - Limites no infinito:
, aproximando-se por baixo para e por cima para . - Monotonicidade: decrescente em ambos os ramos.
- Concavidade: côncava para baixo em
e côncava para cima em .
Para orientar o desenho, alguns pontos fáceis:(ponto ); (ponto ). Esses valores confirmam as formas dos ramos.
Passo 11
Esboço final da curva (instruções de desenho).
Com todas as informações acima, desenha-se:
Com todas as informações acima, desenha-se:
- Uma assíntota vertical traçada em
e uma horizontal em . - Para
: desenhar um ramo que vem de quando , é decrescente e côncavo para baixo, passa por e cai para quando . Por exemplo, passa por . - Para
: desenhar um ramo que sai de quando , é decrescente e côncavo para cima, passa por e aproxima-se de por cima quando .
O gráfico resultante é a hipérbole com centro efetivo em, com os dois ramos descritos.
Resposta
(a)
(b) Intersecções com os eixos: .
(c) Não é par nem ímpar (sem simetria de paridade).
(d) Assíntotas: vertical e horizontal
.
(e) é estritamente decrescente em
e em
.
(f) Não há máximos nem mínimos locais no domínio.
(g) Concavidade: côncava para baixo em e côncava para cima em
. Não existem pontos de inflexão no domínio.
(h) Esboço: hipérbole com centro em , ramo esquerdo vindo de
quando
, passando por
e indo para
em
; ramo direito vindo de
em
, passando por
e aproximando-se de
por cima quando
.
(b) Intersecções com os eixos:
(c) Não é par nem ímpar (sem simetria de paridade).
(d) Assíntotas: vertical
(e)
(f) Não há máximos nem mínimos locais no domínio.
(g) Concavidade: côncava para baixo em
(h) Esboço: hipérbole com centro em