(3,0 pontos) Considere a função f(x)=\frac{x}{x-1}. Use o seguinte roteiro para esboçar o gráfico da função:
(a) domínio,
(b) intersecções com os eixos coordenados,
(c) simetria,
(d) assíntotas verticais e horizontais,
(e) intervalos de crescimento e de decrescimento,
(f) valores máximo e mínimo locais,
(g) concavidade e pontos de inflexão,
(h) esboço da curva mediante as informações anteriores.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\dfrac{x}{x-1} e pede, passo a passo, para obter:
(a) domínio;
(b) intersecções com os eixos coordenados;
(c) simetria;
(d) assíntotas verticais e horizontais;
(e) intervalos de crescimento e de decrescimento;
(f) valores máximo e mínimo locais;
(g) concavidade e pontos de inflexão;
(h) esboço da curva usando as informações anteriores.
Não há outras informações numéricas no enunciado além da própria definição de f.

Passo 2

Domínio. Para achar o domínio de uma função racional, eu preciso garantir que o denominador não seja zero, porque divisão por zero não é permitida. Aqui o denominador é x-1. Então imponho x-1\neq0, ou seja x\neq1. Portanto o domínio é
\text{dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{1\}.
Isso significa que posso avaliar f em qualquer real, exceto em x=1.

Passo 3

Intersecções com os eixos.
  • Intersecção com o eixo x (zerar f): resolvo f(x)=0.
\frac{x}{x-1}=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0
(verificar que 0 pertence ao domínio, o que é verdade). Logo existe uma intersecção em x=0, que corresponde ao ponto (0,0).
  • Intersecção com o eixo y: é f(0). Já calculamos f(0)=0. Portanto a intersecção com o eixo y também é o ponto (0,0).
Resumo: a única intersecção com os eixos é o ponto (0,0).

Passo 4

Simetria.
Testo se a função é par ( f(-x)=f(x)) ou ímpar ( f(-x)=-f(x)) ou nenhuma das duas. Calculo f(-x):
f(-x)=\frac{-x}{-x-1}=\frac{-x}{-(x+1)}=\frac{x}{x+1}.
Compare com f(x)=\dfrac{x}{x-1} e com -f(x)=-\dfrac{x}{x-1}. Observa-se que f(-x) não é igual nem a f(x) nem a -f(x) em geral. Portanto não é função par nem ímpar; não há simetria de paridade simples em relação à origem ou ao eixo y.

Passo 5

Assíntotas verticais e horizontais.
  • Assíntota vertical: quando o denominador se anula e o numerador não anula de forma a cancelar, normalmente há uma assíntota vertical. Aqui em x=1 o denominador zera e o numerador vale 1\neq0, logo existe assíntota vertical em x=1. Analisando os limites laterais:
\lim_{x\to1^-}\frac{x}{x-1}=-\infty,\qquad \lim_{x\to1^+}\frac{x}{x-1}=+\infty.
  • Assíntota horizontal: analiso \lim_{x\to\pm\infty}f(x). Uma forma prática é dividir por x ou reescrever a função:
f(x)=\frac{x}{x-1}=1+\frac{1}{x-1}.
Assim fica claro que
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=1.
Logo existe assíntota horizontal y=1. Posso também verificar de que lado a função se aproxima de 1: como f(x)-1=\dfrac{1}{x-1}, para x\to+\infty temos f(x)>1 (aproxima-se por cima) e para x\to-\infty temos f(x)<1 (aproxima-se por baixo).
Resumo: assíntota vertical x=1; assíntota horizontal y=1.

Passo 6

Forma e interpretação geométrica (dica útil para esboço).
A reescrita f(x)=1+\dfrac{1}{x-1} mostra que a curva é a hipérbole padrão y=\dfrac{1}{x} transladada: centro efetivo em (1,1), com assíntotas horizontais e verticais em y=1 e x=1. Essa observação ajuda a desenhar: teremos duas “ramos” hiperbólicos, um para x<1 e outro para x>1.

Passo 7

Derivada e monotonicidade: cálculo de f'(x).
Para estudar crescimento e decrescimento uso a derivada. Parto da forma f(x)=1+(x-1)^{-1}. Derivando:
f'(x) = -1\cdot (x-1)^{-2} = -\frac{1}{(x-1)^2}.
Observações sobre esse resultado:
  • O denominador (x-1)^2 é sempre positivo para x\neq1.
  • O sinal do numerador é negativo, logo f'(x)<0 para todo x do domínio.
Conclusão: f é estritamente decrescente em cada intervalo do domínio. Escrevendo os intervalos:
f\\ \text{é decrescente em}\\ (-\infty,1)\quad\text{e em}\\ (1,+\infty).é

Passo 8

Extremos locais.
Para existir máximo ou mínimo local é preciso que a derivada se anule em um ponto do domínio ou que a derivada mude de sinal em torno de um ponto crítico. Aqui f'(x) nunca é zero (é sempre negativa) e só é indefinida em x=1, que não pertence ao domínio. Assim não há pontos em que f'(x)=0 dentro do domínio, e o sinal de f' não muda (continua negativo em cada ramo). Portanto:
  • Não existem máximos locais nem mínimos locais em \mathbb{R}\setminus\{1\}.

Passo 9

Concavidade e pontos de inflexão: cálculo de f''(x).
Derivo novamente f'(x)=- (x-1)^{-2}:
f''(x)= -\bigl(-2\bigr)(x-1)^{-3}= \frac{2}{(x-1)^3}.
Análise do sinal de f'':
  • Para x>1 tem-se (x-1)^3>0 então f''(x)>0: função côncava para cima em (1,+\infty).
  • Para x<1 tem-se (x-1)^3<0 então f''(x)<0: função côncava para baixo em (-\infty,1).
Pontos de inflexão são pontos do domínio onde a concavidade muda de sinal ou onde f''(x)=0. Aqui f''(x) nunca é zero (é indefinida em x=1), e a troca de concavidade ocorre em x=1 que NÃO pertence ao domínio. Portanto não há pontos de inflexão no domínio de f.

Passo 10

Comportamento local e pontos auxiliares para o esboço.
Recolhendo comportamentos importantes que ajudam a desenhar:
  • Assíntotas: x=1 (vertical) e y=1 (horizontal).
  • Intersecção: (0,0).
  • Limites perto de x=1: \lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty, \lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty.
  • Limites no infinito: \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=1, aproximando-se por baixo para x\to-\infty e por cima para x\to+\infty.
  • Monotonicidade: decrescente em ambos os ramos.
  • Concavidade: côncava para baixo em (-\infty,1) e côncava para cima em (1,+\infty).
    Para orientar o desenho, alguns pontos fáceis: f(2)=\dfrac{2}{1}=2 (ponto (2,2)); f\!\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)=\dfrac{1/2}{-1/2}=-1 (ponto (\tfrac{1}{2},-1)). Esses valores confirmam as formas dos ramos.

Passo 11

Esboço final da curva (instruções de desenho).
Com todas as informações acima, desenha-se:
  • Uma assíntota vertical traçada em x=1 e uma horizontal em y=1.
  • Para x<1: desenhar um ramo que vem de y\approx1^- quando x\to-\infty, é decrescente e côncavo para baixo, passa por (0,0) e cai para -\infty quando x\to1^-. Por exemplo, passa por (\tfrac{1}{2},-1).
  • Para x>1: desenhar um ramo que sai de +\infty quando x\to1^+, é decrescente e côncavo para cima, passa por (2,2) e aproxima-se de y=1 por cima quando x\to+\infty.
    O gráfico resultante é a hipérbole com centro efetivo em (1,1), com os dois ramos descritos.

Resposta

(a) \text{dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{1\}.
(b) Intersecções com os eixos: (0,0).
(c) Não é par nem ímpar (sem simetria de paridade).
(d) Assíntotas: vertical x=1 e horizontal y=1.
(e) f é estritamente decrescente em (-\infty,1) e em (1,+\infty).
(f) Não há máximos nem mínimos locais no domínio.
(g) Concavidade: côncava para baixo em (-\infty,1) e côncava para cima em (1,+\infty). Não existem pontos de inflexão no domínio.
(h) Esboço: hipérbole com centro em (1,1), ramo esquerdo vindo de y\to1^- quando x\to-\infty, passando por (0,0) e indo para -\infty em x\to1^-; ramo direito vindo de +\infty em x\to1^+, passando por (2,2) e aproximando-se de y=1 por cima quando x\to+\infty.

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