Calcule os limites.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A função considerada é
. - A variável
se aproxima de . - Precisa-se encontrar o valor numérico desse limite quando
tende a .
Passo 2
Ideia útil (substituição de variável): defina
.
Explicação: ao fazermos essa substituição, quando temos também
, porque a função
é contínua e
. Assim o limite em
transforma-se em um limite em
:
Explicação: ao fazermos essa substituição, quando
Esta é uma técnica padrão: trocar a expressão complicada por uma nova variável que tende ao mesmo ponto.
Passo 3
Agora precisamos saber
. Para isso uso uma desigualdade conhecida e simples de justificar:
Justificativa curta e intuitiva: considere a função
. Tem-se
e
porque
. Assim
é crescente e, para
,
, isto é
. Pelo fato da função seno ser ímpar (
), obtem-se a desigualdade para todo
. Essa é uma justificativa elementar usando derivadas; geometricamente também é bem intuitivo.
Passo 4
Usando a desigualdade e o Teorema do Confronto (squeeze):
Como
, o Teorema do Confronto dá
Voltando à substituição
, concluímos
Passo 5
Observação útil para a prova: frequentemente é conveniente lembrar que, além de ir a
, a função seno satisfaz
Aplicando
obtemos
quando
. Portanto não só o limite é
, como sabemos a taxa:
comporta-se como
próximo de
.