Calcule os limites.
\lim _{x \rightarrow 0} \operatorname{sen}\left(x^{3}\right)=

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0} \operatorname{sen}\!\bigl(x^{3}\bigr).
Informações dadas:
  • A função considerada é \operatorname{sen}\!\bigl(x^{3}\bigr).
  • A variável x se aproxima de 0.
  • Precisa-se encontrar o valor numérico desse limite quando x tende a 0.

Passo 2

Ideia útil (substituição de variável): defina \,t = x^{3}.
Explicação: ao fazermos essa substituição, quando x \to 0 temos também t \to 0, porque a função x\mapsto x^{3} é contínua e 0^{3}=0. Assim o limite em x transforma-se em um limite em t:
\lim_{x\to 0}\operatorname{sen}\!\bigl(x^{3}\bigr) = \lim_{t\to 0}\operatorname{sen}(t).
Esta é uma técnica padrão: trocar a expressão complicada por uma nova variável que tende ao mesmo ponto.

Passo 3

Agora precisamos saber \lim_{t\to 0}\operatorname{sen}(t). Para isso uso uma desigualdade conhecida e simples de justificar:
|\operatorname{sen}(t)| \le |t|\quad\text{para todo }t\in\mathbb{R}.
Justificativa curta e intuitiva: considere a função \varphi(t)=t-\operatorname{sen}(t). Tem-se \varphi(0)=0 e
\varphi'(t)=1-\cos t \ge 0
porque \cos t \le 1. Assim \varphi é crescente e, para t\ge 0, \varphi(t)\ge 0, isto é \operatorname{sen}(t)\le t. Pelo fato da função seno ser ímpar ( \operatorname{sen}(-t)=-\operatorname{sen}(t)), obtem-se a desigualdade para todo t. Essa é uma justificativa elementar usando derivadas; geometricamente também é bem intuitivo.

Passo 4

Usando a desigualdade e o Teorema do Confronto (squeeze):
-|t| \le \operatorname{sen}(t) \le |t|.
Como \lim_{t\to 0} |t| = 0, o Teorema do Confronto dá
\lim_{t\to 0}\operatorname{sen}(t)=0.
Voltando à substituição t=x^{3}, concluímos
\lim_{x\to 0}\operatorname{sen}\!\bigl(x^{3}\bigr)=0.

Passo 5

Observação útil para a prova: frequentemente é conveniente lembrar que, além de ir a 0, a função seno satisfaz
\lim_{u\to 0}\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}=1.
Aplicando u=x^{3} obtemos \operatorname{sen}(x^{3})\sim x^{3} quando x\to 0. Portanto não só o limite é 0, como sabemos a taxa: \operatorname{sen}(x^{3}) comporta-se como x^{3} próximo de 0.

Resposta

0

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