Calcule os limites.
\lim _{x \rightarrow 0} \cos \left(x^{2}+2 x\right)=

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0}\cos\bigl(x^{2}+2x\bigr).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função dentro do cosseno é x^{2}+2x.
  • A variável x tende a 0.
  • O objetivo é encontrar o valor numérico do limite.

Passo 2

Calcular primeiro o limite da expressão dentro do cosseno. Usando propriedades básicas de limites (limite de soma é soma dos limites, limite de produto é produto dos limites), temos:
\lim_{x\to 0}\bigl(x^{2}+2x\bigr)=\lim_{x\to 0}x^{2}+\lim_{x\to 0}2x.
Agora avalio cada termo separadamente:
\lim_{x\to 0}x^{2}=0,\qquad \lim_{x\to 0}2x=2\cdot\lim_{x\to 0}x=2\cdot 0=0.
Portanto
\lim_{x\to 0}\bigl(x^{2}+2x\bigr)=0+0=0.

Passo 3

Usar a continuidade do cosseno. A função \cos(t) é contínua para todo t\in\mathbb{R}, o que significa que, sempre que \lim_{x\to a} u(x)=L, vale
\lim_{x\to a}\cos\bigl(u(x)\bigr)=\cos\bigl(\lim_{x\to a}u(x)\bigr)=\cos(L).
Aplicando isso ao nosso caso, com u(x)=x^{2}+2x e \lim_{x\to 0}u(x)=0, obtemos
\lim_{x\to 0}\cos\bigl(x^{2}+2x\bigr)=\cos\bigl(\,0\,\bigr).

Passo 4

Avaliar \cos(0). Pelo conhecimento básico de trigonometria,
\cos(0)=1.
(Explicação curta: o cosseno do ângulo zero vale 1; também pode-se ver pela série de Taylor \cos t=1-\tfrac{t^{2}}{2}+\cdots, que para t=0 1.)

Resposta

1

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