Calcule os limites.
\lim _{x \rightarrow 1} e^{x^{2}-1}=

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite quando x tende a 1 da função exponencial dada:
\lim_{x\to1} e^{x^{2}-1}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão dentro do exponencial é x^{2}-1.
  • O ponto de aproximação é x=1.
  • A função exponencial e^{(\cdot)} está definida para todos os números reais.

Passo 2

Primeiro vamos calcular o limite do expoente isoladamente:
\lim_{x\to1} \bigl(x^{2}-1\bigr).
Para isso uso regras simples de limites: se \lim_{x\to a} x = a, então \lim_{x\to a} x^{2} = (\lim_{x\to a} x)^{2} = a^{2}. Aplicando com a=1,
\lim_{x\to1} x^{2} = 1^{2} = 1.
Logo
\lim_{x\to1} \bigl(x^{2}-1\bigr) = \lim_{x\to1} x^{2} - \lim_{x\to1} 1 = 1 - 1 = 0.
(Outra maneira equivalente é notar x^{2}-1=(x-1)(x+1); quando x\to1 temos x-1\to0 e x+1\to2, produto vai a 0.)

Passo 3

Agora preciso passar do limite do expoente para o limite da exponencial. Uso o fato de que a função exponencial f(t)=e^{t} é contínua em todo t\in\mathbb{R}. Explicar o que significa: continuidade em t=a quer dizer que, se t tende a a, então f(t) tende a f(a); em símbolos, se \lim_{x\to a} g(x)=L e f é contínua em L, então
\lim_{x\to a} f\bigl(g(x)\bigr)=f\bigl(\lim_{x\to a} g(x)\bigr).
No nosso caso g(x)=x^{2}-1 e f(t)=e^{t}. Como vimos em

Passo 4

\lim_{x\to1} e^{x^{2}-1} = e^{\;\lim_{x\to1} (x^{2}-1)}.

Passo 5

Substituindo o resultado do expoente:
\lim_{x\to1} e^{x^{2}-1} = e^{0}.
E lembrando a propriedade básica da exponencial, e^{0}=1. Portanto o limite é 1.

Passo 6

Dica rápida para prova: sempre verifique se a função que está “por fora” (aqui e^{(\cdot)}) é contínua; se for, calcule primeiro o limite do que está dentro e depois substitua. Isso evita muita conta desnecessária e é rápido de aplicar.

Resposta

1

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