Resolver os limites abaixo:
\lim _{y \rightarrow 0} \frac{\ln (1+a y)}{y}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando y tende a zero:
\lim_{y\to 0} \frac{\ln(1+a y)}{y}.
Informações/dados dados:
  • a é uma constante (assumir que a\in\mathbb{R}); é o parâmetro do problema.
  • A variável que vai a zero é y.
  • Para que a expressão faça sentido (logaritmo real), é necessário que 1+a y>0 nas proximidades de y=0. Para a fixo e finito existe sempre um intervalo pequeno ao redor de 0 onde isso vale (por exemplo, |y|<1/(2|a|) se a\neq0).
    O que se pede: encontrar o valor numérico do limite em função de a.

Passo 2

Fazemos uma substituição simples para deixar a forma clássica conhecida. Defina
t = a y.
Ao fazer y\to 0 temos também t\to 0 (pois a é constante). Reescrevendo a expressão em termos de t:
\frac{\ln(1+a y)}{y} = \frac{\ln(1+t)}{y}.
Agora escrevemos y em função de t: y = t/a (se a=0 trataremos o caso separado depois). Substituindo:
\frac{\ln(1+t)}{y} = \frac{\ln(1+t)}{t/a} = a\cdot\frac{\ln(1+t)}{t}.
Portanto o limite original fica
\lim_{y\to 0} \frac{\ln(1+a y)}{y} \;=\; a\cdot \lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}.

Passo 3

Agora precisamos calcular \displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}. Vou mostrar dois argumentos curtos — pegue o que achar mais claro.
Argumento (derivada, jeito direto e padrão):
  • A derivada da função f(x)=\ln x em x=1 pelo seu limite definidor é
f'(1)=\lim_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h} =\lim_{h\to 0}\frac{\ln(1+h)-\ln 1}{h} =\lim_{h\to 0}\frac{\ln(1+h)}{h}.
  • Sabemos que f'(x)=1/x para x>0. Em x=1 isto dá f'(1)=1.
  • Logo
\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1.
Argumento (inequações elementares, alternativa sem usar derivada):
  • Para -1<t vale a desigualdade \dfrac{t}{1+t}\le \ln(1+t)\le t. (Estas desigualdades podem ser obtidas por integrar 1/(1+u) ou por convexidade da função \ln.)
  • Dividindo por t (para t>0) obtemos \dfrac{1}{1+t}\le \dfrac{\ln(1+t)}{t}\le 1. Tomando limite t\to 0^+ as duas extremas tendem a 1, logo o quociente também tende a 1. Para t\to 0^- faz-se analogamente com sinais; no fim o limite bilateral é 1.
  • Portanto \displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1.
(Os dois argumentos chegam ao mesmo resultado; o primeiro é mais curto se já conhece derivadas, o segundo é mais elementar.)

Passo 4

Voltando à transformação do Passo 2, substituímos o valor do limite obtido:
\lim_{y\to 0} \frac{\ln(1+a y)}{y} = a\cdot \lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t} = a\cdot 1 = a.

Passo 5

Verificações finais e casos especiais:
  • Se a=0, a expressão é \ln(1+0)/y=0/y=0 para y\neq0, e o limite é 0, compatível com a fórmula a.
  • Quanto à condição do domínio: para qualquer a fixo e finito existe um intervalo ao redor de y=0 em que 1+a y>0, então a expressão é bem definida para calcular o limite bilateral em 0.
  • Conclusão pronta: o limite existe e é igual a a.

Resposta

a

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