Resolver os limites abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando
tende a zero:
Informações/dados dados:
-
é uma constante (assumir que ); é o parâmetro do problema. - A variável que vai a zero é
. - Para que a expressão faça sentido (logaritmo real), é necessário que
nas proximidades de . Para fixo e finito existe sempre um intervalo pequeno ao redor de onde isso vale (por exemplo, se ).
O que se pede: encontrar o valor numérico do limite em função de.
Passo 2
Fazemos uma substituição simples para deixar a forma clássica conhecida. Defina
Ao fazer
temos também
(pois
é constante). Reescrevendo a expressão em termos de
:
Agora escrevemos
em função de
:
(se
trataremos o caso separado depois). Substituindo:
Portanto o limite original fica
Passo 3
Agora precisamos calcular
. Vou mostrar dois argumentos curtos — pegue o que achar mais claro.
Argumento (derivada, jeito direto e padrão):
- A derivada da função
em pelo seu limite definidor é
- Sabemos que
para . Em isto dá . - Logo
Argumento (inequações elementares, alternativa sem usar derivada):
- Para
vale a desigualdade . (Estas desigualdades podem ser obtidas por integrar ou por convexidade da função .) - Dividindo por
(para ) obtemos . Tomando limite as duas extremas tendem a , logo o quociente também tende a . Para faz-se analogamente com sinais; no fim o limite bilateral é . - Portanto
.
(Os dois argumentos chegam ao mesmo resultado; o primeiro é mais curto se já conhece derivadas, o segundo é mais elementar.)
Passo 4
Voltando à transformação do Passo 2, substituímos o valor do limite obtido:
Passo 5
Verificações finais e casos especiais:
- Se
, a expressão é para , e o limite é , compatível com a fórmula . - Quanto à condição do domínio: para qualquer
fixo e finito existe um intervalo ao redor de em que , então a expressão é bem definida para calcular o limite bilateral em . - Conclusão pronta: o limite existe e é igual a
.