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Questão. (1,5 pontos) Use o Critério de Comparação para determinar se as integrais impróprias convergem ou divergem:
\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} d x.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx
converge ou diverge. Informação dada: o integrando é \dfrac{1}{\sqrt{x}} e o intervalo de integração é de 1 até +\infty. A pergunta é apenas uma: a integral imprópria converge (é finita) ou diverge (é infinita)?

Passo 2

Apresentar o Critério de Comparação (versão usada aqui) — aula rápida e prática.
  • Seja f e g funções contínuas e não-negativas em [a,+\infty).
  • Se existir a tal que 0\le g(x)\le f(x) para todo x\ge a e \displaystyle\int_{a}^{+\infty} g(x)\,dx = +\infty (ou seja, a integral de g diverge), então \int_{a}^{+\infty} f(x)\,dx = +\infty(ou seja, f também produz uma integral divergente).
  • Em palavras: para provar divergência, é útil comparar com uma função menor cujo integral seja conhecido e divergente; se a função estudada é maior ou igual a essa função divergente, então ela também diverge.
Explicação curta do porquê (intuição): integrar uma função maior que outra que já dá área infinita não pode resultar numa área finita — a área fica ainda maior.

Passo 3

Escolher uma função de comparação conhecida.
Uma família padrão é \dfrac{1}{x^p} com p>0. Sabe-se (teste p) que
\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^p}\,dx
converge se, e somente se, p>1; diverge se p\le 1. Aqui o integrando é \dfrac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}, ou seja p=\tfrac{1}{2}, que já sugere divergência porque \tfrac{1}{2}\le 1. Mas seguiremos estritamente pelo Critério de Comparação pedindo no enunciado.

Passo 4

Montar a desigualdade de comparação válida para x\ge 1.
Para x\ge 1 temos \sqrt{x}\le x (porque em x\ge1 a raiz é menor ou igual ao próprio número). Tomando recíprocos (tudo positivo), obtemos
\frac{1}{\sqrt{x}}\ge \frac{1}{x},\qquad \text{para todo } x\ge 1.
Portanto podemos escolher g(x)=\dfrac{1}{x} como função de comparação: 0\le g(x)\le f(x) não vale, mas 0\le g(x)\le f(x) com g(x)=1/x e f(x)=1/\sqrt{x} fica 1/x \le 1/\sqrt{x}; isso é suficiente para aplicar a forma do critério que garante divergência: se uma função menor (aqui 1/x) tem integral divergente, a função maior (aqui 1/\sqrt{x}) também diverge.

Passo 5

Mostrar que a integral de comparação diverge.
Calcular a integral imprópria conhecida:
\int_{1}^{b} \frac{1}{x}\,dx = \bigl[\ln x\bigr]_{1}^{b} = \ln b - \ln 1 = \ln b.
Ao fazer b\to +\infty obtemos
\lim_{b\to+\infty} \ln b = +\infty,
logo
\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x}\,dx = +\infty,
ou seja, a integral de \dfrac{1}{x} diverge.

Passo 6

Aplicar diretamente o Critério de Comparação e concluir.
Como para todo x\ge1 vale
0\le \frac{1}{x}\le \frac{1}{\sqrt{x}},
e já sabemos que \displaystyle\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x}\,dx = +\infty, então pelo Critério de Comparação a integral
\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx
também diverge.
(Opcional — checagem direta: a primitiva de x^{-1/2} é 2x^{1/2}, logo
\int_{1}^{b} x^{-1/2}\,dx = 2\bigl(\sqrt{b}-1\bigr)
e \lim_{b\to+\infty}2(\sqrt{b}-1)=+\infty, confirmando a divergência.)

Resposta

Diverge.

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