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Questão. (1,5 pontos) Use o Critério de Comparação para determinar se as integrais impróprias convergem ou divergem:
\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} d x.
Questão. (1,5 pontos) Use o Critério de Comparação para determinar se as integrais impróprias convergem ou divergem:
\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} d x.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
converge ou diverge. Informação dada: o integrando é
e o intervalo de integração é de
até
. A pergunta é apenas uma: a integral imprópria converge (é finita) ou diverge (é infinita)?
Passo 2
Apresentar o Critério de Comparação (versão usada aqui) — aula rápida e prática.
- Seja
e funções contínuas e não-negativas em . - Se existir
tal que para todo e (ou seja, a integral de diverge), então (ou seja, também produz uma integral divergente). - Em palavras: para provar divergência, é útil comparar com uma função menor cujo integral seja conhecido e divergente; se a função estudada é maior ou igual a essa função divergente, então ela também diverge.
Explicação curta do porquê (intuição): integrar uma função maior que outra que já dá área infinita não pode resultar numa área finita — a área fica ainda maior.
Passo 3
Escolher uma função de comparação conhecida.
Uma família padrão é
com
. Sabe-se (teste
) que
converge se, e somente se,
; diverge se
. Aqui o integrando é
, ou seja
, que já sugere divergência porque
. Mas seguiremos estritamente pelo Critério de Comparação pedindo no enunciado.
Passo 4
Montar a desigualdade de comparação válida para
.
Para
temos
(porque em
a raiz é menor ou igual ao próprio número). Tomando recíprocos (tudo positivo), obtemos
Portanto podemos escolher
como função de comparação:
não vale, mas
com
e
fica
; isso é suficiente para aplicar a forma do critério que garante divergência: se uma função menor (aqui
) tem integral divergente, a função maior (aqui
) também diverge.
Passo 5
Mostrar que a integral de comparação diverge.
Calcular a integral imprópria conhecida:
Ao fazer
obtemos
logo
ou seja, a integral de
diverge.
Passo 6
Aplicar diretamente o Critério de Comparação e concluir.
Como para todo
vale
e já sabemos que
, então pelo Critério de Comparação a integral
também diverge.
(Opcional — checagem direta: a primitiva de
é
, logo
e
, confirmando a divergência.)
Resposta
Diverge.