Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow-\pi^{+}}[[\,\operatorname{sen}(x)]] e \lim _{x \rightarrow-\pi^{-}}[[\,\operatorname{sen}(x)]]

Passo 1

O enunciado pede os limites laterais de \lfloor\sin(x)\rfloor quando x tende a -\pi pela direita e pela esquerda. O conteúdo envolvido é o comportamento da função seno perto de -\pi e a aplicação da função piso (floor), definida por
\lfloor y\rfloor = \text{o maior inteiro} \le y.

Passo 2

Para x\to -\pi^+ escrevemos x=-\pi+\varepsilon com \varepsilon>0 pequeno. Usando a expansão de primeira ordem em \varepsilon:
\sin(-\pi+\varepsilon) =\sin(-\pi)\cos(\varepsilon)+\cos(-\pi)\sin(\varepsilon) =0\cdot\cos(\varepsilon)+(-1)\cdot\varepsilon =-\varepsilon,
logo \sin(x) é um número negativo muito próximo de zero. Portanto
\lfloor \sin(x)\rfloor =\lfloor -\varepsilon\rfloor =-1.

Passo 3

Para x\to -\pi^- tomamos x=-\pi-\varepsilon com \varepsilon>0 pequeno. De modo análogo:
\sin(-\pi-\varepsilon) =\sin(-\pi)\cos(\varepsilon)+\cos(-\pi)\sin(-\varepsilon) =0+(-1)\cdot(-\varepsilon) =+\varepsilon,
portanto \sin(x) é um número positivo muito próximo de zero. Assim
\lfloor \sin(x)\rfloor =\lfloor \varepsilon\rfloor =0.

Resposta

\lim_{x\to -\pi^+}\lfloor\sin(x)\rfloor=-1, \quad \lim_{x\to -\pi^-}\lfloor\sin(x)\rfloor=0.

Exercícios relacionados