Determine o limite se existir, ou mostre que o limite não existe \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{2 y^{3}}{x^{2}+y^{2}}
Passo 1
O enunciado pede o limite \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{2y^3}{x^2+y^2}.
Este é um caso de limite de função de duas variáveis em que precisamos verificar se, ao nos aproximarmos de (0,0) por qualquer direção, a expressão tende a um mesmo valor.
Passo 2
Para simplificar, passamos a coordenadas polares, definindo
Note que \sin^3\theta é limitado por -1\le \sin^3\theta\le 1. Logo
\bigl|2r\,\sin^3\theta\bigr| \le 2r.
Como r\to 0^+ implica 2r\to 0, segue que 2r\,\sin^3\theta\to 0 para qualquer \theta. Isso mostra que o valor da expressão tende a 0 independentemente da direção de aproximação.