Determine o limite se existir, ou mostre que o limite não existe
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{2 y^{3}}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{2y^3}{x^2+y^2}.
Este é um caso de limite de função de duas variáveis em que precisamos verificar se, ao nos aproximarmos de (0,0) por qualquer direção, a expressão tende a um mesmo valor.

Passo 2

Para simplificar, passamos a coordenadas polares, definindo
x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta.
Então
\frac{2y^3}{x^2+y^2} = \frac{2\,(r\sin\theta)^3}{r^2} = 2r\,\sin^3\theta.

Passo 3

Note que \sin^3\theta é limitado por -1\le \sin^3\theta\le 1. Logo
\bigl|2r\,\sin^3\theta\bigr| \le 2r.
Como r\to 0^+ implica 2r\to 0, segue que 2r\,\sin^3\theta\to 0 para qualquer \theta. Isso mostra que o valor da expressão tende a 0 independentemente da direção de aproximação.

Resposta

O limite existe e vale 0.

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