Calcule o volume dos sólidos:
Limitado pelo cilindro y=x^{2} e pelos planos z=0 e y+z=1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado lateralmente pelo cilindro y = x^2, inferiormente pelo plano z=0 e superiormente pelo plano y+z=1. O método aqui é usar integração dupla projetando o sólido sobre a região no plano xy.

Passo 2

Para cada ponto (x,y) na projeção D no plano xy, o z varia de 0 até 1 - y. A projeção D é o conjunto de pontos tais que o cilindro y=x^2 fica por baixo e, na base z=0, temos y\le1. Logo,
D = \{(x,y)\mid x^2 \le y \le 1\}.

Passo 3

O volume é
V = \iint_{D} (\,\text{altura em }z\,)\,dA = \iint_{D} (1 - y)\,dA.
Em coordenadas cartesianas,
V = \int_{y=0}^{1}\!\int_{x=-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} (1 - y)\,dx\,dy.

Passo 4

Primeiro integramos em x:
\int_{x=-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} (1 - y)\,dx = (1 - y)\Bigl[\,x\Bigr]_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} = (1 - y)\bigl(2\sqrt{y}\bigr) = 2\sqrt{y}\,(1 - y).
Agora em y:
V = \int_{0}^{1} 2\sqrt{y}\,(1 - y)\,dy =2\int_{0}^{1}\bigl(y^{\tfrac12} - y^{\tfrac32}\bigr)\,dy =2\Bigl[\tfrac{2}{3}y^{\tfrac{3}{2}} - \tfrac{2}{5}y^{\tfrac{5}{2}}\Bigr]_{0}^{1} =2\Bigl(\tfrac{2}{3} - \tfrac{2}{5}\Bigr) =2\cdot\tfrac{4}{15} =\tfrac{8}{15}.

Resposta

O volume do sólido é \displaystyle \tfrac{8}{15}.

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