Uma massa m>0 em uma mola com constante elástica k>0 satisfaz a equação diferencial m u^{\prime \prime}+k u=0, onde u(t) é o deslocamento da massa no instante t a partitr de sua posição de equilíbrio.
(a) Sejam x=u e y=u^{\prime}. Mostre que o sistema resultante é:
\binom{x^{\prime}}{y^{\prime}}=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\\\ -k / m & 0 \end{array}\right)\binom{x}{y}
(b) Encontre os autovalores/autovetores da matriz de coeficientes e escreva a solução geral do sistema.
(c) Esboce as trajetórias do sistema usando o plano de fase e seu campo de inclinações.
(d) Esboce as soluções x, y em função de t num único gráfico e interprete fisicamente este resultado.

Passo 1

O enunciado dá a equação de um oscilador massa-mola
m\,u'' + k\,u = 0
com m>0 e k>0, onde u(t) é o deslocamento em relação ao equilíbrio. Vamos definir as variáveis de estado
x = u,\quad y = u',
de modo a transformar essa EDO de ordem 2 num sistema linear de ordem 1. Em seguida usaremos teoria de autovalores/autovetores para resolver, depois analisaremos o plano de fase e, por fim, veremos o comportamento temporal de x(t) e y(t).

Passo 2

Como x = u e y = u', temos
x' = u' = y, \quad y' = u'' = -\frac{k}{m}\,u = -\frac{k}{m}\,x.
Logo o sistema fica
\binom{x'}{y'} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\[6pt] -\tfrac{k}{m} & 0 \end{pmatrix} \binom{x}{y}.]

Passo 3

A matriz de coeficientes é
A = \begin{pmatrix}0 & 1\\\\ -\tfrac{k}{m} & 0\end{pmatrix}.
A equação característica é
\det(A - \lambda I) = \lambda^2 + \frac{k}{m} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \pm i\,\omega, \quad \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}.
Para \lambda = i\omega um autovetor é
\displaystyle v_1 = \begin{pmatrix}1\i\omega\end{pmatrix},
e para \lambda = -i\omega temos
\displaystyle v_2 = \begin{pmatrix}1\\\ -\,i\omega\end{pmatrix}.
Assim a solução geral complexa é
\binom{x(t)}{y(t)} = C_1 e^{i\omega t}\begin{pmatrix}1\i\omega\end{pmatrix} + C_2 e^{-i\omega t}\begin{pmatrix}1\\\ -\,i\omega\end{pmatrix}.
Em termos reais, renomeando constantes, chega-se a
x(t) = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t), \quad y(t) = -A\,\omega\sin(\omega t) + B\,\omega\cos(\omega t),
com A,B\in\mathbb{R}.

Passo 4

No plano de fase (x,y) cada solução satisfaz
\frac{dy}{dx} = \frac{y'}{x'} = -\frac{k}{m}\,\frac{x}{y},
o que implica curvas fechadas. Na verdade
E = \frac12\,m\,y^2 + \frac12\,k\,x^2 = \text{constante}
define elipses (ou círculos, se escalonarmos y por \sqrt{m}). O campo de inclinações mostra vetores tangentes que percorrem essas órbitas no sentido anti-horário, caracterizando oscilações periódicas sem amortecimento.

Passo 5

Traçando x(t) e y(t) num mesmo gráfico, vemos que são funções sinuoidais defasadas de \pi/2: quando x(t) está no máximo ( \cos máximo), y(t) passa por zero, e vice-versa. Fisicamente, x(t) é o deslocamento e y(t) a velocidade da massa; a energia alterna entre potencial ( x máximo, y=0) e cinética ( y máximo, x=0), com frequência \omega=\sqrt{k/m}.

Resposta

(a) \displaystyle\binom{x'}{y'}=\begin{pmatrix}0 & 1\\[3pt]-\tfrac{k}{m} & 0\end{pmatrix}\binom{x}{y}.
(b) Os autovalores são \lambda=\pm i\sqrt{k/m}; autovetores \begin{pmatrix}1\\pm i\sqrt{k/m}\end{pmatrix}. A solução geral real é
x(t)=A\cos\!\bigl(\sqrt{k/m}\,t\bigr)+B\sin\!\bigl(\sqrt{k/m}\,t\bigr), \quad y(t)=-A\sqrt{\tfrac{k}{m}}\sin\!\bigl(\sqrt{k/m}\,t\bigr) +B\sqrt{\tfrac{k}{m}}\cos\!\bigl(\sqrt{k/m}\,t\bigr).
(c) As trajetórias no plano de fase são elipses (ou círculos após escala) centradas na origem, correspondendo a órbitas periódicas de energia constante, com campo de inclinações dy/dx=-(k/m)(x/y).
(d) Num único gráfico, x(t) e y(t) são senos/cossenos defasados \pi/2, mostrando que a velocidade lidera o deslocamento em \pi/2. Fisicamente, é a oscilação harmônica simples onde energia potencial e cinética se alternam sem perda.]

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