Calcule os limites
onde
.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
onde
. Informação dada importante:
- A função
é definida por . - Há uma questão de domínio: se
então não está definida. O enunciado não exclui esse caso, por isso devemos tratar separadamente os dois casos possíveis: e .
Passo 2
Lembra do que significa esse limite? É a diferença quociente clássica. Quando
é definida em
(ou seja, quando
), esse limite é exatamente a derivada de
em
. Minha estratégia: reescrever a diferença em termos de
, usar limites conhecidos para seno e cosseno e obter o resultado. Primeiro vamos revisar dois limites trigonométricos fundamentais e derivados que vou usar:
- Limite fundamental:
- Limite auxiliar (consequência do anterior):
Explicação curta e didática da segunda identidade: use a identidade
. Assim
e como
e
, o produto tende a
.
Passo 3
Vou calcular a derivada de
em
(isto é, o limite
), pois ela aparece ao reescrever a diferença de secantes. Defina
. Então
Usando a fórmula da soma para cosseno:
Substituindo:
Tomando limite
e aplicando os limites do Passo 2:
Portanto
Passo 4
Agora reescrevo a expressão do enunciado em termos de
. Supondo primeiro que
(ou seja,
está definida), tenho:
Observe que, quando
, tem-se
(continuidade do cosseno), e como
, o denominador
tende para
. Assim posso usar o limite do numerador dividido por
encontrado no Passo 3:
Substituindo
obtém-se
Reescrevendo em identidades trigonométricas:
Portanto, quando
,
Passo 5
Falta tratar o caso
. Se
então
não está definida e a expressão
não faz sentido tal como escrita (subtrai-se algo inexistente). Além disso, olhando para o comportamento de
perto de um ponto onde
zera, há uma assíntota vertical: se
então, para pequenos
,
com
, logo
que diverge ao aproximar-se por um lado ou por outro. Portanto não existe limite finito da forma pedida; a expressão não está bem definida em
e não tem limite finito (o comportamento é de divergência). Conclusão: para
não há limite finito e a diferença quociente original não é aplicável.
Resposta
Se
:
Se : a expressão não está definida em
(não existe limite finito).
Se