Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{\operatorname{sec} x-\operatorname{sec} x_{0}}{x-x_{0}},
onde x_{0} \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x \to x_{0}} \frac{\operatorname{sec} x - \operatorname{sec} x_{0}}{x - x_{0}},
onde \,x_{0}\in\mathbb{R}. Informação dada importante:
  • A função \operatorname{sec} é definida por \operatorname{sec} x = \dfrac{1}{\cos x}.
  • Há uma questão de domínio: se \cos x_{0}=0 então \operatorname{sec} x_{0} não está definida. O enunciado não exclui esse caso, por isso devemos tratar separadamente os dois casos possíveis: \cos x_{0}\neq 0 e \cos x_{0}=0.

Passo 2

Lembra do que significa esse limite? É a diferença quociente clássica. Quando \operatorname{sec} é definida em x_{0} (ou seja, quando \cos x_{0}\neq 0), esse limite é exatamente a derivada de \operatorname{sec} em x_{0}. Minha estratégia: reescrever a diferença em termos de \cos, usar limites conhecidos para seno e cosseno e obter o resultado. Primeiro vamos revisar dois limites trigonométricos fundamentais e derivados que vou usar:
  • Limite fundamental:
\lim_{t\to 0} \frac{\sin t}{t} = 1.
  • Limite auxiliar (consequência do anterior):
\lim_{t\to 0} \frac{\cos t - 1}{t} = 0.
Explicação curta e didática da segunda identidade: use a identidade \cos t - 1 = -2\sin^{2}\!\left(\tfrac{t}{2}\right). Assim
\frac{\cos t - 1}{t} = -2\frac{\sin^{2}\!\left(\tfrac{t}{2}\right)}{t} = -2\left(\frac{\sin\!\left(\tfrac{t}{2}\right)}{\tfrac{t}{2}}\right)^{2}\!\cdot\!\frac{t}{4},
e como \dfrac{\sin(\tfrac{t}{2})}{\tfrac{t}{2}}\to 1 e \tfrac{t}{4}\to 0, o produto tende a 0.

Passo 3

Vou calcular a derivada de \cos em x_{0} (isto é, o limite \lim_{x\to x_{0}}\dfrac{\cos x - \cos x_{0}}{x - x_{0}}), pois ela aparece ao reescrever a diferença de secantes. Defina h = x - x_{0}. Então
\frac{\cos x - \cos x_{0}}{x - x_{0}} = \frac{\cos(x_{0}+h) - \cos x_{0}}{h}.
Usando a fórmula da soma para cosseno:
\cos(x_{0}+h) = \cos x_{0}\cos h - \sin x_{0}\sin h.
Substituindo:
\frac{\cos(x_{0}+h) - \cos x_{0}}{h} = \cos x_{0}\cdot\frac{\cos h - 1}{h} - \sin x_{0}\cdot\frac{\sin h}{h}.
Tomando limite h\to 0 e aplicando os limites do Passo 2:
\lim_{h\to 0}\frac{\cos(x_{0}+h) - \cos x_{0}}{h} = \cos x_{0}\cdot 0 - \sin x_{0}\cdot 1 = -\sin x_{0}.
Portanto
\lim_{x\to x_{0}} \frac{\cos x - \cos x_{0}}{x - x_{0}} = -\sin x_{0}.

Passo 4

Agora reescrevo a expressão do enunciado em termos de \cos. Supondo primeiro que \cos x_{0}\neq 0 (ou seja, \operatorname{sec} x_{0} está definida), tenho:
\frac{\operatorname{sec} x - \operatorname{sec} x_{0}}{x - x_{0}} = \frac{\dfrac{1}{\cos x} - \dfrac{1}{\cos x_{0}}}{x - x_{0}} = \frac{\cos x_{0} - \cos x}{\cos x \cos x_{0}\,(x - x_{0})}.
Observe que, quando x \to x_{0}, tem-se \cos x \to \cos x_{0} (continuidade do cosseno), e como \cos x_{0}\neq 0, o denominador \cos x\cos x_{0} tende para \cos^{2}x_{0}\neq 0. Assim posso usar o limite do numerador dividido por x-x_{0} encontrado no Passo 3:
\lim_{x\to x_{0}}\frac{\operatorname{sec} x - \operatorname{sec} x_{0}}{x - x_{0}} = \lim_{x\to x_{0}}\frac{\cos x_{0} - \cos x}{\cos x \cos x_{0}\,(x - x_{0})} = -\frac{1}{\cos^{2}x_{0}}\lim_{x\to x_{0}}\frac{\cos x - \cos x_{0}}{x - x_{0}}.
Substituindo \lim_{x\to x_{0}}\dfrac{\cos x - \cos x_{0}}{x - x_{0}} = -\sin x_{0} obtém-se
\lim_{x\to x_{0}}\frac{\operatorname{sec} x - \operatorname{sec} x_{0}}{x - x_{0}} = -\frac{1}{\cos^{2}x_{0}}\cdot(-\sin x_{0}) = \frac{\sin x_{0}}{\cos^{2}x_{0}}.
Reescrevendo em identidades trigonométricas:
\frac{\sin x_{0}}{\cos^{2}x_{0}} = \left(\frac{1}{\cos x_{0}}\right)\!\left(\frac{\sin x_{0}}{\cos x_{0}}\right) = \operatorname{sec} x_{0}\tan x_{0}.
Portanto, quando \cos x_{0}\neq 0,
\lim_{x\to x_{0}}\frac{\operatorname{sec} x - \operatorname{sec} x_{0}}{x - x_{0}} = \operatorname{sec} x_{0}\tan x_{0}.

Passo 5

Falta tratar o caso \cos x_{0}=0. Se \cos x_{0}=0 então \operatorname{sec} x_{0} não está definida e a expressão \dfrac{\operatorname{sec} x - \operatorname{sec} x_{0}}{x - x_{0}} não faz sentido tal como escrita (subtrai-se algo inexistente). Além disso, olhando para o comportamento de \operatorname{sec} perto de um ponto onde \cos zera, há uma assíntota vertical: se x_{0}=\tfrac{\pi}{2}+k\pi então, para pequenos h,
\cos(x_{0}+h) \approx -\sin x_{0}\,h
com \sin x_{0}=\pm 1, logo
\operatorname{sec}(x_{0}+h) = \frac{1}{\cos(x_{0}+h)} \approx \frac{1}{\pm h},
que diverge ao aproximar-se por um lado ou por outro. Portanto não existe limite finito da forma pedida; a expressão não está bem definida em x_{0} e não tem limite finito (o comportamento é de divergência). Conclusão: para \cos x_{0}=0 não há limite finito e a diferença quociente original não é aplicável.

Resposta

Se \cos x_{0}\neq 0: \displaystyle \operatorname{sec} x_{0}\tan x_{0}.
Se \cos x_{0}=0: a expressão não está definida em x_{0} (não existe limite finito).

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