Calcule os limites
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas (explicitamente pelo enunciado):
- A expressão a ser analisada é
. - O ponto de interesse é
.
Passo 2
Observação qualitativa inicial: para
as potências
e
tendem a zero porque bases maiores que
elevadas a expoentes muito negativos produzem números positivos muito pequenos. Ou seja,
Portanto, a expressão parece ter numerador que se comporta como
(pois
é pequeno frente a
) e denominador que se comporta como
. Mas vamos fazer isso de forma rigorosa.
Passo 3
Reescrevo a expressão de maneira conveniente para separar o termo dominante
:
Aqui a ideia é: se eu conseguir mostrar que o fator multiplicativo
tende a
quando
, então a expressão terá o mesmo comportamento assintótico que
, e como
isso dará limite
.
Passo 4
Mostrar que
quando
. Faço a substituição
, então
quando
. Temos
Logo é suficiente ver que
Esse último limite é clássico: o exponencial cresce (aqui
) muito mais rápido que o polinômio
. Para formalizar podemos usar a regra de L’Hôpital sobre
(forma
):
Portanto
, o que implica
Passo 5
Mostro também que
(já afirmado no Passo 2). Com isso,
Pela divisão de limites (denominador tendendo a
), o fator do Passo 3 satisfaz
Passo 6
Voltando à expressão fatorada do Passo 3,
temos um produto em que
e o segundo fator tende para
. Portanto o produto tende para
. Em palavras: o termo linear
domina o numerador porque
vai para zero muito mais rápido; o denominador tende para
; assim a fração comporta-se como
quando
, logo tende a
.