Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{5^{x}+x}{2^{x}+1}=

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{5^{x}+x}{2^{x}+1}.
Informações dadas (explicitamente pelo enunciado):
  • A expressão a ser analisada é \dfrac{5^{x}+x}{2^{x}+1}.
  • O ponto de interesse é x\to -\infty.

Passo 2

Observação qualitativa inicial: para x\to -\infty as potências 5^{x} e 2^{x} tendem a zero porque bases maiores que 1 elevadas a expoentes muito negativos produzem números positivos muito pequenos. Ou seja,
\lim_{x\to -\infty}5^{x}=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to -\infty}2^{x}=0.
Portanto, a expressão parece ter numerador que se comporta como x (pois 5^{x} é pequeno frente a x) e denominador que se comporta como 1. Mas vamos fazer isso de forma rigorosa.

Passo 3

Reescrevo a expressão de maneira conveniente para separar o termo dominante x:
\frac{5^{x}+x}{2^{x}+1} = x\cdot\frac{1+\dfrac{5^{x}}{x}}{1+2^{x}}.
Aqui a ideia é: se eu conseguir mostrar que o fator multiplicativo
\frac{1+\dfrac{5^{x}}{x}}{1+2^{x}}
tende a 1 quando x\to -\infty, então a expressão terá o mesmo comportamento assintótico que x, e como x\to -\infty isso dará limite -\infty.

Passo 4

Mostrar que \dfrac{5^{x}}{x}\to 0 quando x\to -\infty. Faço a substituição t=-x, então t\to+\infty quando x\to -\infty. Temos
\frac{5^{x}}{x} = \frac{5^{-t}}{-t} = -\,\frac{1}{t\,5^{t}}.
Logo é suficiente ver que
\lim_{t\to\infty}\frac{t}{5^{t}}=0.
Esse último limite é clássico: o exponencial cresce (aqui 5^{t}) muito mais rápido que o polinômio t. Para formalizar podemos usar a regra de L’Hôpital sobre \dfrac{t}{5^{t}} (forma \infty/\infty):
\lim_{t\to\infty}\frac{t}{5^{t}} = \lim_{t\to\infty}\frac{1}{5^{t}\ln 5}=0.
Portanto \lim_{t\to\infty}\dfrac{t}{5^{t}}=0, o que implica
\lim_{t\to\infty}\frac{1}{t\,5^{t}}=0 \quad\Rightarrow\quad \lim_{x\to -\infty}\frac{5^{x}}{x}=0.

Passo 5

Mostro também que \lim_{x\to -\infty}2^{x}=0 (já afirmado no Passo 2). Com isso,
\lim_{x\to -\infty}\left(1+\frac{5^{x}}{x}\right)=1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to -\infty}(1+2^{x})=1.
Pela divisão de limites (denominador tendendo a 1\neq 0), o fator do Passo 3 satisfaz
\lim_{x\to -\infty}\frac{1+\dfrac{5^{x}}{x}}{1+2^{x}}=1.

Passo 6

Voltando à expressão fatorada do Passo 3,
\frac{5^{x}+x}{2^{x}+1} = x\cdot\frac{1+\dfrac{5^{x}}{x}}{1+2^{x}},
temos um produto em que x\to -\infty e o segundo fator tende para 1. Portanto o produto tende para -\infty. Em palavras: o termo linear x domina o numerador porque 5^{x} vai para zero muito mais rápido; o denominador tende para 1; assim a fração comporta-se como x quando x\to -\infty, logo tende a -\infty.

Resposta

-\infty

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