Calcule os limites.
.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão é a diferença entre duas raízes quadradas:
e . - A variável
tende para (ou seja, consideramos positivo e grande).
A pergunta é: qual é o comportamento dessa diferença quandocresce sem limite?
Passo 2
Vamos transformar as raízes de forma a comparar termos de mesma ordem em
. Para
podemos fatorar
dentro da primeira raiz e
também dentro da raiz da segunda (observando que
para
). Assim:
Explanação didática: ao fatorar
tiramos o crescimento principal (que é proporcional a
) e ficamos com fatores que tendem a constantes (ou a zero) quando
. Isso facilita comparar as ordens de grandeza.
Passo 3
Substituindo as formas fatoradas na diferença obtemos
Agora analisamos o comportamento dos termos dentro dos parênteses quando
:
-
, porque e . -
, porque .
Portanto o parênteses tende para, que é um número positivo.
Passo 4
Para tornar a argumentação rigorosa, mostro uma desigualdade que dá um limite inferior positivo para o parênteses quando
é grande. Note que para todo
vale
pois
. Assim
Escolha, por exemplo,
. Para
tem-se
(ou seja, existe um
tal que
fica menor que
). Logo, para todo
,
Portanto, para
,
Passo 5
Como
quando
, isso fornece um limite inferior que vai para
. Assim a diferença original cresce sem limite quando
.