Calcule os limites.
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{3 x^{2}+2 x+1}-\sqrt{2 x}\right).

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{3x^{2}+2x+1}-\sqrt{2x}\right).
Informações dadas:
  • A expressão é a diferença entre duas raízes quadradas: \sqrt{3x^{2}+2x+1} e \sqrt{2x}.
  • A variável x tende para +\infty (ou seja, consideramos x positivo e grande).
    A pergunta é: qual é o comportamento dessa diferença quando x cresce sem limite?

Passo 2

Vamos transformar as raízes de forma a comparar termos de mesma ordem em x. Para x>0 podemos fatorar x^{2} dentro da primeira raiz e x^{2} também dentro da raiz da segunda (observando que \sqrt{x^{2}}=x para x>0). Assim:
\sqrt{3x^{2}+2x+1}=\sqrt{x^{2}\!\left(3+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)}=x\sqrt{3+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}},
\sqrt{2x}=\sqrt{x^{2}\cdot\frac{2}{x}}=x\sqrt{\frac{2}{x}}.
Explanação didática: ao fatorar x^{2} tiramos o crescimento principal (que é proporcional a x) e ficamos com fatores que tendem a constantes (ou a zero) quando x\to\infty. Isso facilita comparar as ordens de grandeza.

Passo 3

Substituindo as formas fatoradas na diferença obtemos
\sqrt{3x^{2}+2x+1}-\sqrt{2x}=x\left(\sqrt{3+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}}-\sqrt{\frac{2}{x}}\right).
Agora analisamos o comportamento dos termos dentro dos parênteses quando x\to\infty:
  • \displaystyle \sqrt{3+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}}\longrightarrow\sqrt{3}, porque \frac{2}{x}\to0 e \frac{1}{x^{2}}\to0.
  • \displaystyle \sqrt{\frac{2}{x}}\longrightarrow 0, porque \frac{2}{x}\to0.
    Portanto o parênteses tende para \sqrt{3}-0=\sqrt{3}, que é um número positivo.

Passo 4

Para tornar a argumentação rigorosa, mostro uma desigualdade que dá um limite inferior positivo para o parênteses quando x é grande. Note que para todo x>0 vale
\sqrt{3+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}}\ge\sqrt{3}
pois \frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}\ge0. Assim
\sqrt{3+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}}-\sqrt{\frac{2}{x}}\ge \sqrt{3}-\sqrt{\frac{2}{x}}.
Escolha, por exemplo, X=3. Para x\ge 3 tem-se \sqrt{\frac{2}{x}}\le\sqrt{\frac{2}{3}}<\frac{\sqrt{3}}{2} (ou seja, existe um X tal que \sqrt{\frac{2}{x}} fica menor que \frac{\sqrt{3}}{2}). Logo, para todo x\ge 3,
\sqrt{3+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}}-\sqrt{\frac{2}{x}}\ge \sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}>0.
Portanto, para x\ge 3,
\sqrt{3x^{2}+2x+1}-\sqrt{2x}=x\left(\sqrt{3+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}}-\sqrt{\frac{2}{x}}\right)\ge x\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 5

Como x\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\to+\infty quando x\to+\infty, isso fornece um limite inferior que vai para +\infty. Assim a diferença original cresce sem limite quando x\to+\infty.

Resposta

+\infty

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