Uma partícula move-se no plano
de modo que sua posição é dada por
Determine o vetor velocidade no instante em que a posição horizontal da partícula é
.
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula no plano como funções do tempo:
Pede-se o vetor velocidade no instante em que a coordenada horizontal vale
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A velocidade é o vetor que tem componentes as derivadas temporais das coordenadas:
. - Precisamos encontrar o instante
tal que , isto é resolver . - Depois de achar esse
, avaliamos e nesse instante.
Passo 2
Vou explicar como obter as componentes do vetor velocidade (a teoria necessária, passo a passo).
Definição e regras que vou usar:
- O vetor velocidade é
onde o ponto indica derivada em relação a
.
- Regras de derivação que vamos usar:
-
. -
. - Regra do produto: se
e são funções, .
-
Vou aplicar essas regras às funções dadas para obter fórmulas gerais para
e
(a parte simbólica; depois substituo o valor de
).
Passo 3
Derivo simbolicamente cada componente.
Para
:
Para
, uso a regra do produto com
e
.
-
. -
.
Logo
Posso reescrever:
Resumo: as componentes da velocidade em função de
são
Passo 4
Agora preciso do instante
tal que
. Escrevo a equação:
Observação importante: essa equação é transcendental (mistura
e
); não existe fórmula fechada simples para
. Portanto temos que resolver numericamente.
Uma observação rápida para achar um palpite inicial: como
, então
e como
se tem
entre
e
. Isso já reduz bastante o intervalo.
Vou usar o método de Newton–Raphson (rápido e prático em prova se souber a derivada). Escrevo:
A iteração de Newton é
Passo 5
Escolho um chute inicial razoável. Testando rapidamente
e
:
Logo há uma raiz entre
e
. Faço uma interpolação linear rápida para um chute inicial e obtenho
. Agora aplico Newton com passos mostrados (vou reduzir o ângulo para uma forma computacionalmente fácil, subtraindo
para trabalhar com um ângulo pequeno).
Primeira iteração (valores aproximados mostrados com detalhes):
- Calculo o ângulo reduzido
. Como , tem-se . - Uso aproximações conhecidas para
e (ou calculadora da prova): , . - Então
- Atualizo:
Segunda iteração:
- Reduzo:
. Então , . - Calculo
- Atualizo:
Terceira iteração (verificação):
-
. Aqui , . - Avaliando
obtém-se um valor praticamente zero (ordem ou menor), portanto a iteração já convergiu com precisão suficiente para a prova.
Concluímos que o instante procurado é
Passo 6
Agora avalio as componentes da velocidade nas fórmulas obtidas no Passo 3, usando
e
calculados na última iteração.
Recordando:
Com
e com o ângulo reduzido
notei que
com
, o que facilita aproximações:
Agora calculo numericamente (mostrando as contas):
- Para
:
- Para
:
Assim, com precisão adequada para uma prova, a velocidade no instante em que
é