Uma partícula move-se no plano x y de modo que sua posição é dada por
x(t)=t+5 \sin t \quad \text { e } \quad y(t)=(8-t)(1-\cos t)
Determine o vetor velocidade no instante em que a posição horizontal da partícula é x=25.

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula no plano como funções do tempo:
x(t)=t+5\sin t,\qquad y(t)=(8-t)(1-\cos t).
Pede-se o vetor velocidade no instante em que a coordenada horizontal vale x=25.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A velocidade é o vetor que tem componentes as derivadas temporais das coordenadas: v(t)=(\dot x(t),\dot y(t)).
  • Precisamos encontrar o instante t tal que x(t)=25, isto é resolver t+5\sin t=25.
  • Depois de achar esse t, avaliamos \dot x(t) e \dot y(t) nesse instante.

Passo 2

Vou explicar como obter as componentes do vetor velocidade (a teoria necessária, passo a passo).
Definição e regras que vou usar:
  • O vetor velocidade é
v(t)=\big(\dot x(t),\dot y(t)\big),
onde o ponto indica derivada em relação a t.
  • Regras de derivação que vamos usar:
    • \dfrac{d}{dt}\sin t=\cos t.
    • \dfrac{d}{dt}\cos t=-\sin t.
    • Regra do produto: se u(t) e w(t) são funções, \dfrac{d}{dt}\big(u w\big)=u'\,w+u\,w'.
Vou aplicar essas regras às funções dadas para obter fórmulas gerais para \dot x(t) e \dot y(t) (a parte simbólica; depois substituo o valor de t).

Passo 3

Derivo simbolicamente cada componente.
Para x(t)=t+5\sin t:
\dot x(t)=\frac{d}{dt}\big(t\big)+5\frac{d}{dt}\big(\sin t\big)=1+5\cos t.
Para y(t)=(8-t)(1-\cos t), uso a regra do produto com u(t)=8-t e w(t)=1-\cos t.
  • u'(t)=-1.
  • w'(t)=\sin t.
    Logo
\dot y(t)=u'(t)w(t)+u(t)w'(t)=-1\cdot(1-\cos t)+(8-t)\sin t.
Posso reescrever:
\dot y(t)=-1+\cos t+(8-t)\sin t.
Resumo: as componentes da velocidade em função de t são
\dot x(t)=1+5\cos t,\qquad \dot y(t)=-1+\cos t+(8-t)\sin t.

Passo 4

Agora preciso do instante t tal que x(t)=25. Escrevo a equação:
t+5\sin t=25.
Observação importante: essa equação é transcendental (mistura t e \sin t); não existe fórmula fechada simples para t. Portanto temos que resolver numericamente.
Uma observação rápida para achar um palpite inicial: como \sin t\in[-1,1], então
t-5\le t+5\sin t\le t+5,
e como t+5\sin t=25 se tem t entre 20 e 30. Isso já reduz bastante o intervalo.
Vou usar o método de Newton–Raphson (rápido e prático em prova se souber a derivada). Escrevo:
f(t)=t+5\sin t-25,\qquad f'(t)=1+5\cos t.
A iteração de Newton é
t_{\text{new}}=t_{\text{old}}-\frac{f(t_{\text{old}})}{f'(t_{\text{old}})}.

Passo 5

Escolho um chute inicial razoável. Testando rapidamente t=20 e t=20{,}5:
20+5\sin 20\approx24{,}5647\quad(\text{menor que }25),
20{,}5+5\sin 20{,}5\approx25{,}484\quad(\text{maior que }25).
Logo há uma raiz entre 20 e 20{,}5. Faço uma interpolação linear rápida para um chute inicial e obtenho t_0\approx20{,}2368. Agora aplico Newton com passos mostrados (vou reduzir o ângulo para uma forma computacionalmente fácil, subtraindo 3\cdot 2\pi para trabalhar com um ângulo pequeno).
Primeira iteração (valores aproximados mostrados com detalhes):
  • Calculo o ângulo reduzido a=t_0-3\cdot 2\pi. Como 3\cdot 2\pi=18{,}849556, tem-se a\approx1{,}38724.
  • Uso aproximações conhecidas para \sin a e \cos a (ou calculadora da prova): \sin a\approx0{,}98316, \cos a\approx0{,}1823.
  • Então
f(t_0)\approx20{,}2368+5(0{,}98316)-25\approx0{,}1526,
f'(t_0)\approx1+5(0{,}1823)\approx1{,}9115.
  • Atualizo:
t_1=t_0-\frac{0{,}1526}{1{,}9115}\approx20{,}1569.
Segunda iteração:
  • Reduzo: a=t_1-3\cdot 2\pi\approx1{,}30734. Então \sin a\approx0{,}9654, \cos a\approx0{,}2603.
  • Calculo
f(t_1)\approx20{,}1569+5(0{,}9654)-25\approx-0{,}0161,
f'(t_1)\approx1+5(0{,}2603)\approx2{,}3015.
  • Atualizo:
t_2=t_1-\frac{-0{,}0161}{2{,}3015}\approx20{,}1639.
Terceira iteração (verificação):
  • a=t_2-3\cdot 2\pi\approx1{,}31434. Aqui \sin a\approx0{,}967295, \cos a\approx0{,}25365.
  • Avaliando f(t_2) obtém-se um valor praticamente zero (ordem 10^{-4} ou menor), portanto a iteração já convergiu com precisão suficiente para a prova.
Concluímos que o instante procurado é
t\approx20{,}1639.

Passo 6

Agora avalio as componentes da velocidade nas fórmulas obtidas no Passo 3, usando \sin t e \cos t calculados na última iteração.
Recordando:
\dot x(t)=1+5\cos t,\qquad \dot y(t)=-1+\cos t+(8-t)\sin t.
Com t\approx20{,}1639 e com o ângulo reduzido a=t-3\cdot2\pi\approx1{,}31434 notei que a=\tfrac{\pi}{2}-\delta com \delta\approx0{,}25646, o que facilita aproximações:
\cos t=\sin\delta\approx0{,}25365,\qquad \sin t=\cos\delta\approx0{,}967295.
Agora calculo numericamente (mostrando as contas):
  • Para \dot x:
\dot x(t)=1+5\cos t\approx1+5(0{,}25365)=1+1{,}26825=2{,}26825.
  • Para \dot y:
8-t\approx8-20{,}1639=-12{,}1639,
(8-t)\sin t\approx-12{,}1639\times0{,}967295\approx-11{,}76604,
\dot y(t)=-1+\cos t+(8-t)\sin t\approx-1+0{,}25365-11{,}76604\approx-12{,}51239.
Assim, com precisão adequada para uma prova, a velocidade no instante em que x=25 é
v(t)\approx\big(2{,}2683,\,-12{,}5124\big).

Resposta

\big(2{,}2683,\,-12{,}5124\big)

Exercícios relacionados