Se f(x)=\frac{3 x+4 x \mid}{7 x-5|x|}, calcule:
\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\frac{3x+4|x|}{7x-5|x|}
e pede para calcular o limite
\lim_{x\to-\infty} f(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função envolve o valor absoluto |x|.
  • O ponto em que o limite é pedido é x\to-\infty, ou seja, estamos interessados no comportamento quando x é muito negativo.
  • É importante lembrar que |x| tem expressão diferente conforme o sinal de x: para x<0 vale |x|=-x; para x>0 vale |x|=x. Aqui o limite é em direção a -\infty, então usaremos a expressão de |x| para x<0.

Passo 2

Usar a definição de valor absoluto para x<0. Como estamos indo para -\infty, eventual x considerado é negativo, portanto podemos substituir |x| por -x. Substituindo na função obtemos (para x<0):
f(x)=\frac{3x+4(-x)}{7x-5(-x)}.

Passo 3

Fazer as operações no numerador e no denominador passo a passo:
No numerador:
3x+4(-x)=3x-4x=(3-4)x=-x.
No denominador:
7x-5(-x)=7x+5x=(7+5)x=12x.
Portanto, para x<0 (e x\neq0),
f(x)=\frac{-x}{12x}.

Passo 4

Cancelar o fator x (válido para x\neq0). Explicando: se uma fração tem numerador e denominador ambos multiplicados por x e x\neq0, pode-se dividir cima e baixo por x. Assim
\frac{-x}{12x}=\frac{-1}{12}.
Note que o resultado é uma constante independentemente do valor específico de x, desde que x<0 e x\neq0.

Passo 5

Concluir o limite: como para todos os x suficientemente negativos a função vale exatamente -\tfrac{1}{12}, o limite quando x\to-\infty é essa constante. Além disso, o limite de uma função constante é a própria constante, então
\lim_{x\to-\infty} f(x)=-\frac{1}{12}.

Resposta

-\dfrac{1}{12}

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