A posição de uma partícula em qualquer instante t \geq 0 é dada por
x(t)=t^{3}-3 t^{2} \quad \text { e } \quad y(t)=t^{3}
(a) Determine o módulo do vetor velocidade no instante t=5.
(b) Determine a distância total percorrida pela partícula no intervalo de t=0 até t=5.
(c) Determine \frac{d y}{d x} como função de x.
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula parametricamente em função do tempo t\ge 0:
x(t)=t^{3}-3t^{2},\qquad y(t)=t^{3}.
As perguntas são:
(a) Determinar o módulo do vetor velocidade no instante t=5.
(b) Determinar a distância total percorrida pela partícula no intervalo t=0 até t=5.
(c) Determinar \dfrac{dy}{dx} como função de x.
Informações relevantes dadas:
A trajetória está dada por coordenadas paramétricas x(t) e y(t).
O intervalo de interesse para (a) e (b) é t\in[0,5].
Para (c) é pedido a derivada \dfrac{dy}{dx} relacionada à curva paramétrica.
Passo 2
Vamos obter o vetor velocidade \mathbf{v}(t). Conceito básico: o vetor velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, componente a componente. Ou seja,
(b) Distância total percorrida: conceito e fórmula. Para uma curva paramétrica a distância percorrida entre t=a e t=b é a integral do módulo da velocidade:
S=\int_{a}^{b}\|\mathbf{v}(t)\|\,dt.
Aqui a=0, b=5, então com a expressão da velocidade:
S=\int_{0}^{5}3\sqrt{2}\,t\sqrt{t^{2}-2t+2}\,dt.
Para integrar, faço a substituição que centraliza o quadrado perfeito: v=t-1. Então t=v+1, dt=dv. Os limites mudam: quando t=0 tem v=-1; quando t=5 tem v=4. Note que
Essa é a expressão em termos do parâmetro t. O enunciado pede função de x (sem t). Podemos eliminar t usando as relações dadas. Observe que y=t^{3} e x=t^{3}-3t^{2}. Da soma dessas expressões obtemos
Também y=t^{3}. Uma manipulação conveniente é reescrever \dfrac{t}{t-2} em termos de x e y. Uma via simples é transformar \dfrac{t}{t-2} em uma expressão que use t^{3}=y e t^{2}=(y-x)/3. Fazendo isso (detalhes algébricos):
Portanto uma forma prática, em termos das coordenadas x e y, é
\dfrac{dy}{dx}=\frac{3y}{y+2x},
que é uma relação explícita em x e y. Para obter \dfrac{dy}{dx} como função apenas de x seria necessário expor y como função explícita y(x), isto é, inverter a relação x=t^{3}-3t^{2} e y=t^{3} (isso implica resolver uma cúbica), o que é possível mas conduz a uma expressão por Cardano bem mais trabalhosa. A forma \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3y}{y+2x} é mais limpa e prática: dado um ponto da curva (isto é, um par (x,y) que satisfaz as equações paramétricas), essa fórmula dá \dfrac{dy}{dx} naquele ponto sem resolver uma cúbica.