A posição de uma partícula em qualquer instante t \geq 0 é dada por
x(t)=t^{3}-3 t^{2} \quad \text { e } \quad y(t)=t^{3}
(a) Determine o módulo do vetor velocidade no instante t=5.
(b) Determine a distância total percorrida pela partícula no intervalo de t=0 até t=5.
(c) Determine \frac{d y}{d x} como função de x.

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula parametricamente em função do tempo t\ge 0:
x(t)=t^{3}-3t^{2},\qquad y(t)=t^{3}.
As perguntas são:
(a) Determinar o módulo do vetor velocidade no instante t=5.
(b) Determinar a distância total percorrida pela partícula no intervalo t=0 até t=5.
(c) Determinar \dfrac{dy}{dx} como função de x.
Informações relevantes dadas:
  • A trajetória está dada por coordenadas paramétricas x(t) e y(t).
  • O intervalo de interesse para (a) e (b) é t\in[0,5].
  • Para (c) é pedido a derivada \dfrac{dy}{dx} relacionada à curva paramétrica.

Passo 2

Vamos obter o vetor velocidade \mathbf{v}(t). Conceito básico: o vetor velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, componente a componente. Ou seja,
\mathbf{v}(t)=\left(\dfrac{dx}{dt},\dfrac{dy}{dt}\right).
Calculemos as derivadas:
\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{d}{dt}\bigl(t^{3}-3t^{2}\bigr)=3t^{2}-6t,
\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{d}{dt}\bigl(t^{3}\bigr)=3t^{2}.
Portanto
\mathbf{v}(t)=\bigl(3t^{2}-6t,\;3t^{2}\bigr).

Passo 3

(a) Módulo do vetor velocidade (velocidade escalar): a fórmula é a norma euclidiana das componentes:
\|\mathbf{v}(t)\|=\sqrt{\bigl(\dfrac{dx}{dt}\bigr)^{2}+\bigl(\dfrac{dy}{dt}\bigr)^{2}}.
Substituindo as componentes encontradas:
\|\mathbf{v}(t)\|=\sqrt{(3t^{2}-6t)^{2}+(3t^{2})^{2}}.
Vamos simplificar passo a passo:
(3t^{2}-6t)^{2}=9(t^{2}-2t)^{2}=9(t^{4}-4t^{3}+4t^{2}),
(3t^{2})^{2}=9t^{4}.
Somando:
\|\mathbf{v}(t)\|=\sqrt{9(t^{4}-4t^{3}+4t^{2})+9t^{4}}=\sqrt{9(2t^{4}-4t^{3}+4t^{2})}.
Fatorando 9 e t^{2} (para t\ge0 podemos tratar t sem valor absoluto):
\|\mathbf{v}(t)\|=3\sqrt{2t^{4}-4t^{3}+4t^{2}}=3\sqrt{2}\,t\sqrt{t^{2}-2t+2}.
Agora avalie em t=5. Primeiro calcule o que está dentro da raiz:
t^{2}-2t+2\Big|_{t=5}=25-10+2=17.
Então
\|\mathbf{v}(5)\|=3\sqrt{2}\cdot 5\cdot\sqrt{17}=15\sqrt{34}.

Passo 4

(b) Distância total percorrida: conceito e fórmula. Para uma curva paramétrica a distância percorrida entre t=a e t=b é a integral do módulo da velocidade:
S=\int_{a}^{b}\|\mathbf{v}(t)\|\,dt.
Aqui a=0, b=5, então com a expressão da velocidade:
S=\int_{0}^{5}3\sqrt{2}\,t\sqrt{t^{2}-2t+2}\,dt.
Para integrar, faço a substituição que centraliza o quadrado perfeito: v=t-1. Então t=v+1, dt=dv. Os limites mudam: quando t=0 tem v=-1; quando t=5 tem v=4. Note que
t^{2}-2t+2=(v+1)^{2}-2(v+1)+2=v^{2}+1.
A integral fica
S=3\sqrt{2}\int_{-1}^{4}(v+1)\sqrt{v^{2}+1}\,dv.
Separe em duas integrais:
S=3\sqrt{2}\left(\int_{-1}^{4}v\sqrt{v^{2}+1}\,dv+\int_{-1}^{4}\sqrt{v^{2}+1}\,dv\right).
Agora calcule cada primitiva.
  1. Para \displaystyle\int v\sqrt{v^{2}+1}\,dv use w=v^{2}+1, dw=2v\,dv. Então
\int v\sqrt{v^{2}+1}\,dv=\frac{1}{2}\int w^{1/2}\,dw=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}w^{3/2}=\frac{1}{3}(v^{2}+1)^{3/2}.
  1. Para \displaystyle\int \sqrt{v^{2}+1}\,dv use a primitiva padrão:
\int \sqrt{v^{2}+1}\,dv=\frac{v}{2}\sqrt{v^{2}+1}+\frac{1}{2}\ln\!\bigl|v+\sqrt{v^{2}+1}\bigr|+C.
Somando as duas primitivas e aplicando os fatores:
S=3\sqrt{2}\left[\frac{1}{3}(v^{2}+1)^{3/2}+\frac{1}{2}\left(v\sqrt{v^{2}+1}+\ln\!\bigl|v+\sqrt{v^{2}+1}\bigr|\right)\right]_{v=-1}^{v=4}.
Multiplicando os fatores:
S=\sqrt{2}\,(v^{2}+1)^{3/2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}\left(v\sqrt{v^{2}+1}+\ln\!\bigl|v+\sqrt{v^{2}+1}\bigr|\right)\Bigg|_{-1}^{4}.
Agora avalie em v=4 e v=-1.
  • Para v=4: v^{2}+1=17, (v^{2}+1)^{3/2}=17\sqrt{17}, v\sqrt{v^{2}+1}=4\sqrt{17}, \ln\!(4+\sqrt{17}).
  • Para v=-1: v^{2}+1=2, (v^{2}+1)^{3/2}=2\sqrt{2}, v\sqrt{v^{2}+1}=-\sqrt{2}, \ln\!(-1+\sqrt{2})=\ln\!(\sqrt{2}-1) (positivo porque \sqrt{2}-1>0).
Subtraindo (valor em 4 menos valor em -1):
S=\sqrt{2}\bigl(17\sqrt{17}-2\sqrt{2}\bigr)+\frac{3\sqrt{2}}{2}\bigl(4\sqrt{17}-(-\sqrt{2})+\ln\!\tfrac{4+\sqrt{17}}{\sqrt{2}-1}\bigr).
Simplificando os termos aritméticos:
\sqrt{2}\cdot 17\sqrt{17}=17\sqrt{34},\qquad \sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}=4,
e
\frac{3\sqrt{2}}{2}\cdot 4\sqrt{17}=6\sqrt{34},\qquad \frac{3\sqrt{2}}{2}\cdot(-(-\sqrt{2}))=\frac{3\sqrt{2}}{2}\cdot\sqrt{2}=3.
Somando tudo:
S=17\sqrt{34}-4+6\sqrt{34}+3+\frac{3\sqrt{2}}{2}\ln\!\left(\frac{4+\sqrt{17}}{\sqrt{2}-1}\right).
Portanto
S=23\sqrt{34}-1+\frac{3\sqrt{2}}{2}\ln\!\left(\frac{4+\sqrt{17}}{\sqrt{2}-1}\right).
Uma aproximação numérica (para dar uma noção de tamanho) é
S\approx 139,425.

Passo 5

(c) Determinar \dfrac{dy}{dx} como função de x. Método: para curvas paramétricas,
\dfrac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}},
desde que \dfrac{dx}{dt}\neq 0. Já temos \dfrac{dy}{dt}=3t^{2} e \dfrac{dx}{dt}=3t^{2}-6t. Então
\dfrac{dy}{dx}=\frac{3t^{2}}{3t^{2}-6t}=\frac{3t^{2}}{3t(t-2)}=\frac{t}{t-2},\qquad (t\neq 0,\;t\neq 2).
Essa é a expressão em termos do parâmetro t. O enunciado pede função de x (sem t). Podemos eliminar t usando as relações dadas. Observe que y=t^{3} e x=t^{3}-3t^{2}. Da soma dessas expressões obtemos
y-x=3t^{2}\quad\Rightarrow\quad t^{2}=\frac{y-x}{3}.
Também y=t^{3}. Uma manipulação conveniente é reescrever \dfrac{t}{t-2} em termos de x e y. Uma via simples é transformar \dfrac{t}{t-2} em uma expressão que use t^{3}=y e t^{2}=(y-x)/3. Fazendo isso (detalhes algébricos):
\dfrac{t}{t-2}=\dfrac{t^{3}}{t^{3}-2t^{2}}=\dfrac{y}{y-2t^{2}}=\dfrac{y}{y-\tfrac{2}{3}(y-x)}=\dfrac{y}{\tfrac{1}{3}y+\tfrac{2}{3}x}=\dfrac{3y}{y+2x}.
Portanto uma forma prática, em termos das coordenadas x e y, é
\dfrac{dy}{dx}=\frac{3y}{y+2x},
que é uma relação explícita em x e y. Para obter \dfrac{dy}{dx} como função apenas de x seria necessário expor y como função explícita y(x), isto é, inverter a relação x=t^{3}-3t^{2} e y=t^{3} (isso implica resolver uma cúbica), o que é possível mas conduz a uma expressão por Cardano bem mais trabalhosa. A forma \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3y}{y+2x} é mais limpa e prática: dado um ponto da curva (isto é, um par (x,y) que satisfaz as equações paramétricas), essa fórmula dá \dfrac{dy}{dx} naquele ponto sem resolver uma cúbica.

Resposta

(a) 15\sqrt{34}
(b) 23\sqrt{34}-1+\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\displaystyle\ln\!\left(\dfrac{4+\sqrt{17}}{\sqrt{2}-1}\right)\approx 139,425
(c) \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{t}{t-2}=\dfrac{3y}{y+2x}

Exercícios relacionados