Calcule os limites
lim x 0 sen(4 x^2) sen(3 x)x^2 cos 2 x

Passo 1

Beleza, galera! Vamos calcular o limite de uma função quando x se aproxima de 0. O problema é:
lim x 0 sen(4 x^2) sen(3 x)x^2 cos 2 x
Vamos precisar usar conhecimentos de limites, especialmente limites que envolvem funções trigonométricas e comportamentos próximos de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando x está muito próximo de 0, sen(x) é aproximadamente igual a x. Essa é uma aproximação que usamos muito para simplificar limites.

Passo 3

Vamos aplicar essa ideia às funções sen(4x²) e sen(3x):
sen(4x^2) approx 4x^2 e sen(3x) approx 3x

Passo 4

Substituindo essas aproximações no numerador da fração, temos:
sen(4x^2) sen(3x) approx (4x^2)(3x) = 12x^3

Passo 5

Agora, vamos olhar para o denominador: x² cos(2x). Sabemos que quando x se aproxima de 0, cos(2x) se aproxima de cos(0) que é 1. Então:
x^2 cos 2x approx x^2 cdot 1 = x^2

Passo 6

Agora, colocando tudo junto na fração original:
sen(4 x^2) sen(3 x)x^2 cos 2 x approx 12x^3x^2 = 12x

Passo 7

Finalmente, vamos calcular o limite de 12x quando x tende a 0:
limx 0 12x = 0

Resposta

O limite é igual a 0.

Exercícios relacionados