Esboçar a trajetória de uma partícula
, sabendo que seu movimento é descrito por:
;
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a trajetória de uma partícula cuja vetor-posição é dado por
para
. O conteúdo envolve função vetorial no espaço e eliminação de parâmetro para reconhecer superfícies e sua interseção.
Passo 2
Escrevendo as componentes paramétricas temos:
Estamos trabalhando com curvas em
, então a ideia é eliminar
para identificar a forma da curva.
Passo 3
Eliminando
entre
e
:
Isso mostra que a projeção da curva no plano
Passo 4
Eliminando
entre
e
: como
, temos
Isso significa que a curva também pertence ao plano definido por
Passo 5
Concluímos que a trajetória é a interseção do cilindro
com o plano
. Geometricamente, isso é uma elipse espacial fechada, que faz um laço completo quando
varia de 0 a
.
Resposta
A trajetória é o conjunto de pontos que satisfazem simultaneamente
e
, ou seja, a interseção do cilindro circular de raio 3 com o plano
, formando uma elipse no espaço.