Esboçar a trajetória de uma partícula P, sabendo que seu movimento é descrito por:
w(t)=3 cos t i+3 sen t j+(9-3 sen t) k; t in[0,2 pi]

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a trajetória de uma partícula cuja vetor-posição é dado por vec w(t)=3cos t,vec i+3sin t,vec j+(9-3sin t),vec k para tin[0,2pi]. O conteúdo envolve função vetorial no espaço e eliminação de parâmetro para reconhecer superfícies e sua interseção.

Passo 2

Escrevendo as componentes paramétricas temos:
x(t)=3cos t, quad y(t)=3sin t, quad z(t)=9-3sin t
Estamos trabalhando com curvas em R^3, então a ideia é eliminar t para identificar a forma da curva.

Passo 3

Eliminando t entre x e y:
x^2+y^2=(3cos t)^2+(3sin t)^2=9(cos^2t+sin^2t)=9
Isso mostra que a projeção da curva no plano xy é o círculo de raio 3, ou seja, um cilindro circular de equação x^2+y^2=9.

Passo 4

Eliminando t entre y e z: como y=3sin t, temos
z=9-3sin t=9-y
Isso significa que a curva também pertence ao plano definido por z+y=9.

Passo 5

Concluímos que a trajetória é a interseção do cilindro x^2+y^2=9 com o plano z+y=9. Geometricamente, isso é uma elipse espacial fechada, que faz um laço completo quando t varia de 0 a 2pi.

Resposta

A trajetória é o conjunto de pontos que satisfazem simultaneamente x^2+y^2=9 e z+y=9, ou seja, a interseção do cilindro circular de raio 3 com o plano z+y=9, formando uma elipse no espaço.

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