Seja W um sólido dado pelas inequações x^2+y^2+z^2 <= 4 z e z >= raiz13(x^2+y^2).
Calcule o volume de W.

Passo 1

Temos o sólido W definido pelas desigualdades x^2+y^2+z^2<=4z e z>=raiztfrac13(x^2+y^2). O conteúdo envolve geometria de esferas e cones no espaço e cálculo de volume usando coordenadas esféricas.

Passo 2

A primeira desigualdade x^2+y^2+z^2<=4z representa uma esfera de centro (0,0,2) e raio 2. A segunda z>=raiztfrac13(x^2+y^2) é um cone com semiângulo phi=pi/3. Em coordenadas esféricas (rho,phi,theta): z=rhocosphi, r=rhosinphi. Logo os limites são 0<=rho<=4cosphi, 0<=phi<=pi/3, 0<=theta<=2pi.

Passo 3

O volume vira a integral tripla
V=integral0^2piintegral0^pi/3integral0^4cosphirho^2sinphi,drho,dphi,dtheta

Passo 4

Integrando em rho: integral0^4cosphirho^2drho=tfrac(4cosphi)^33=tfrac64cos^3phi3. Assim
V=2picdot643integral0^pi/3cos^3phisinphi,dphi

Passo 5

Para o integral em phi, faça u=cosphi, então du=-sinphi,dphi. Os limites vão de u(0)=1 até u(pi/3)=1/2, e
integral0^pi/3cos^3phisinphi,dphi=integral1^1/2(-u^3),du=integral1/2^1u^3,du=l[tfracu^44r]1/2^1=tfrac1564

Passo 6

Substituindo em V:
V=128pi3cdot1564=10pi

Resposta

10pi

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