Calcule os limites
lim x 0 x-tan xx-sin x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto0x-tan xx-sin x. Esse problema é de limites envolvendo funções trigonométricas e vamos usar expansão em série de Taylor (Maclaurin) para resolver.

Passo 2

Vamos lembrar das expansões de Taylor ao redor de zero até a ordem 3:
sin x = x - x^36 + O(x^5)
tan x = x + x^33 + O(x^5)
Essas fórmulas surgem ao derivar sucessivamente as funções e avaliar em x=0.

Passo 3

Com as séries acima, calculamos o numerador:
x - tan x = x - l(x + x^33 + O(x^5)r) = -x^33 + O(x^5)

Passo 4

E o denominador:
x - sin x = x - l(x - x^36 + O(x^5)r) = x^36 + O(x^5)

Passo 5

Agora basta dividir as duas expressões dominantes:
-x^33 + O(x^5)x^36 + O(x^5) = -x^33x^36 = -1/31/6 = -2

Resposta

-2

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