Verifique se a função abaixo é contínua.
Passo 1
Beleza, vamos analisar esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a função $ f(x) $ é contínua. A função está definida por partes:
Vamos precisar entender o que significa continuidade de uma função e como verificar isso em pontos específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto $ a $ se:
- A função está definida em $ a $ (ou seja, $ f(a) $ existe).
- O limite da função quando $ x $ se aproxima de $ a $ existe.
- O limite é igual ao valor da função em $ a $, ou seja, $ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) $.
Vamos verificar esses três pontos para a função $ f(x) $ no ponto $ x = 0 $, já que a função é definida de forma diferente nesse ponto.
Passo 3
Primeiro, vamos ver se $ f(0) $ está definida. Olhando a função, vemos que quando $ x = 0 $, $ f(0) = 0 $. Então, o primeiro ponto está ok.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 0. Para $ x \neq 0 $, a função é $ \frac{\sin(x)}{x} $. Sabemos que:
Esse é um limite famoso em cálculo!
Passo 5
Por último, vamos comparar o limite com o valor da função em 0. Vimos que:
Como $ 1 \neq 0 $, o limite não é igual ao valor da função em 0.
Resposta
Não, a função $ f(x) $ não é contínua em $ x = 0 $.