Verifique se a função abaixo é contínua.

Passo 1

Beleza, vamos analisar esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a função $ f(x) $ é contínua. A função está definida por partes:
f(x)
Vamos precisar entender o que significa continuidade de uma função e como verificar isso em pontos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto $ a $ se:
  1. A função está definida em $ a $ (ou seja, $ f(a) $ existe).
  2. O limite da função quando $ x $ se aproxima de $ a $ existe.
  3. O limite é igual ao valor da função em $ a $, ou seja, $ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) $.
Vamos verificar esses três pontos para a função $ f(x) $ no ponto $ x = 0 $, já que a função é definida de forma diferente nesse ponto.

Passo 3

Primeiro, vamos ver se $ f(0) $ está definida. Olhando a função, vemos que quando $ x = 0 $, $ f(0) = 0 $. Então, o primeiro ponto está ok.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 0. Para $ x \neq 0 $, a função é $ \frac{\sin(x)}{x} $. Sabemos que:
f(x)
Esse é um limite famoso em cálculo!

Passo 5

Por último, vamos comparar o limite com o valor da função em 0. Vimos que:
limx to 0 f(x) = 1 e f(0) = 0
Como $ 1 \neq 0 $, o limite não é igual ao valor da função em 0.

Resposta

Não, a função $ f(x) $ não é contínua em $ x = 0 $.

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