Verifique se a função abaixo é contínua.
Passo 1
A função f é definida por partes em três trechos, então precisamos usar a definição de continuidade num ponto (limite à esquerda = limite à direita = valor da função) e o fato de que polinômios e funções afim são contínuos em todo lugar.
Passo 2
Em cada intervalo aberto onde uma única expressão vale, f é polinômio ou afim, logo contínua. Assim, f é contínua em (−∞,1), em (1,3) e em (3,∞) sem mais checagens.
Passo 3
Verificar continuidade em x=1:
Para x→1− temos
Para x→1− temos
O valor f(1) (caso x≤1) também é
Para x→1+ (caso 1<x<3)
Como f(1^-) = f(1) = f(1^+)=1, f é contínua em x=1.
Passo 4
Verificar continuidade em x=3:
Para x→3− (caso 1<x<3)
Para x→3− (caso 1<x<3)
O valor f(3) (caso x≥3) é
Para x→3+ (caso x≥3)
Como f(3^-) = -9 ≠ f(3) = 0, há descontinuidade em x=3.
Resposta
A função f é contínua em todo real, exceto no ponto x = 3, onde apresenta uma descontinuidade.