Verifique se a função abaixo é contínua.

Passo 1

A função f é definida por partes em três trechos, então precisamos usar a definição de continuidade num ponto (limite à esquerda = limite à direita = valor da função) e o fato de que polinômios e funções afim são contínuos em todo lugar.

Passo 2

Em cada intervalo aberto onde uma única expressão vale, f é polinômio ou afim, logo contínua. Assim, f é contínua em (−∞,1), em (1,3) e em (3,∞) sem mais checagens.

Passo 3

Verificar continuidade em x=1:
Para x→1− temos
f(1^-) = 15(2cdot1^2 + 3) = 15(2+3) = 1
O valor f(1) (caso x≤1) também é
f(1) = 15(2cdot1^2 + 3) = 1
Para x→1+ (caso 1<x<3)
f(1^+) = 6 - 5cdot1 = 1
Como f(1^-) = f(1) = f(1^+)=1, f é contínua em x=1.

Passo 4

Verificar continuidade em x=3:
Para x→3− (caso 1<x<3)
f(3^-) = 6 - 5cdot3 = 6 - 15 = -9
O valor f(3) (caso x≥3) é
f(3) = 3 - 3 = 0
Para x→3+ (caso x≥3)
f(3^+) = 3 - 3 = 0
Como f(3^-) = -9 ≠ f(3) = 0, há descontinuidade em x=3.

Resposta

A função f é contínua em todo real, exceto no ponto x = 3, onde apresenta uma descontinuidade.

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