Calcule os limites:
\lim _{(x, y) \rightarrow(1,2)} \frac{3 x-4 y}{2 x-3 y}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{(x,y)\to(1,2)} \frac{3x-4y}{2x-3y}.
Informações fornecidas:
  • A função cuja limite se pede é \displaystyle f(x,y)=\frac{3x-4y}{2x-3y}.
  • O ponto de aproximação é (x,y)=(1,2).
  • Não há outras informações nem imagens.

Passo 2

Entendendo o que podemos usar: polinômios em x e y são funções contínuas; quociente de duas funções contínuas é contínuo em pontos onde o denominador é diferente de zero. Em termos práticos, isso significa que se ao avaliar o denominador no ponto (1,2) obtivermos um número diferente de zero, então podemos simplesmente substituir (x,y)=(1,2) na expressão para obter o limite. Esta propriedade é válida porque, por definição de limite e continuidade, quando a função não tem descontinuidade no ponto, a aproximação por valores próximos converge ao valor da função no ponto.

Passo 3

Verificar o denominador no ponto dado. Calcular
2\cdot 1 - 3\cdot 2 = 2 - 6 = -4.
Como -4 \neq 0, o denominador não se anula em (1,2). Logo a função é contínua naquele ponto e podemos aplicar substituição direta.

Passo 4

Avaliar numerador e denominador no ponto e fazer a divisão:
\text{numerador} = 3\cdot 1 - 4\cdot 2 = 3 - 8 = -5,
\text{denominador} = -4,
\frac{3\cdot1-4\cdot2}{2\cdot1-3\cdot2}=\frac{-5}{-4}=\frac{5}{4}.

Passo 5

Comentário didático rápido (para a prova): se ao avaliar o denominador em um ponto o resultado fosse 0, não seria possível usar substituição direta; aí seria preciso investigar se o numerador também é 0 e tentar fatorar, simplificar ou testar trajetórias (retas, curvas) para decidir se o limite existe e qual é. Mas aqui não é o caso, então a substituição direta bastou.

Resposta

\dfrac{5}{4}

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