Prove que, para a função dada, \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} não existe:
f(x, y)=\frac{x^{3} y}{x^{4}+y^{4}}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dada a função \displaystyle f(x,y)=\frac{x^{3}y}{x^{4}+y^{4}}, definida para (x,y)\neq(0,0) (o denominador é zero apenas em (0,0)).
  • O que se pede: provar que \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) NÃO existe.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é uma razão de polinômios em x e y.
  • O ponto de interesse é (0,0), onde a função não está definida.
  • Para provar que o limite não existe basta encontrar duas maneiras de aproximar (0,0) (por exemplo, duas curvas passantes por (0,0)) que produzam limites diferentes do valor de f.

Passo 2

Conceito e estratégia que usarei (explicado didaticamente):
  • Definição intuitiva: o limite \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L existe se, ao aproximar (x,y) de (0,0) por QUALQUER caminho, o valor de f(x,y) tende ao mesmo número L.
  • Método prático para provar que o limite NÃO existe: encontrar dois caminhos que se aproximam de (0,0) e que dão dois limites diferentes. Isso basta porque, se existisse um L comum, todos os caminhos deveriam aproximar-se de L.
  • Vou testar caminhos simples e paramétricos do tipo \,y=m x, com m real, porque geralmente essa família revela dependência angular do limite.

Passo 3

Substituir o caminho linear \,y=m x na função e simplificar:
  • Tomemos y=m x com m\in\mathbb{R}. Para x\neq0,
f(x,mx)=\frac{x^{3}\cdot (m x)}{x^{4}+(m x)^{4}}.
  • Simplificando os fatores x,
f(x,mx)=\frac{m x^{4}}{x^{4}+m^{4}x^{4}}.
  • Colocando x^{4} em evidência no denominador,
f(x,mx)=\frac{m x^{4}}{x^{4}(1+m^{4})}=\frac{m}{1+m^{4}},
para todo x\neq0 (e para todo m tal que o denominador 1+m^{4}\neq0, o que é sempre verdadeiro porque 1+m^{4}>0 para todo m\in\mathbb{R}).

Passo 4

Interpretando o resultado e escolhendo dois caminhos que dão limites diferentes:
  • Observação importante: a expressão \dfrac{m}{1+m^{4}} é INDEPENDENTE de x. Isso significa que, ao seguir a linha y=m x e deixar x\to0, o valor de f(x,y) permanece sempre \dfrac{m}{1+m^{4}}. Logo,
\lim_{x\to0} f(x,mx)=\frac{m}{1+m^{4}}.
  • Agora escolho dois valores de m para obter dois limites distintos:
    • Para m=0 (ou seja, aproximando por y=0), tem-se
    \lim_{x\to0} f(x,0)=\frac{0}{1+0}=0.
    • Para m=1 (aproximando por y=x), tem-se
    \lim_{x\to0} f(x,x)=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.
  • Como 0 \neq \tfrac{1}{2}, os limites ao longo desses dois caminhos são diferentes.

Passo 5

Conclusão rigorosa:
  • Encontramos dois caminhos (as retas y=0 e y=x) que aproximam (0,0) e para os quais os limites de f são distintos: 0 e \tfrac{1}{2}.
  • Pelo argumento padrão (se o limite existisse teria que ser o mesmo por qualquer caminho), isso prova que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{3}y}{x^{4}+y^{4}}
não existe.

Resposta

O limite não existe.

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