Prove que, para a função dada,
não existe:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dada a função
, definida para (o denominador é zero apenas em ). - O que se pede: provar que
NÃO existe.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é uma razão de polinômios em
e . - O ponto de interesse é
, onde a função não está definida. - Para provar que o limite não existe basta encontrar duas maneiras de aproximar
(por exemplo, duas curvas passantes por ) que produzam limites diferentes do valor de .
Passo 2
Conceito e estratégia que usarei (explicado didaticamente):
- Definição intuitiva: o limite
existe se, ao aproximar de por QUALQUER caminho, o valor de tende ao mesmo número . - Método prático para provar que o limite NÃO existe: encontrar dois caminhos que se aproximam de
e que dão dois limites diferentes. Isso basta porque, se existisse um comum, todos os caminhos deveriam aproximar-se de . - Vou testar caminhos simples e paramétricos do tipo
, com real, porque geralmente essa família revela dependência angular do limite.
Passo 3
Substituir o caminho linear
na função e simplificar:
- Tomemos
com . Para ,
- Simplificando os fatores
,
- Colocando
em evidência no denominador,
para todo
(e para todo
tal que o denominador
, o que é sempre verdadeiro porque
para todo
).
Passo 4
Interpretando o resultado e escolhendo dois caminhos que dão limites diferentes:
- Observação importante: a expressão
é INDEPENDENTE de . Isso significa que, ao seguir a linha e deixar , o valor de permanece sempre . Logo,
- Agora escolho dois valores de
para obter dois limites distintos: - Para
(ou seja, aproximando por ), tem-se
- Para
(aproximando por ), tem-se
- Para
- Como
, os limites ao longo desses dois caminhos são diferentes.
Passo 5
Conclusão rigorosa:
- Encontramos dois caminhos (as retas
e ) que aproximam e para os quais os limites de são distintos: e . - Pelo argumento padrão (se o limite existisse teria que ser o mesmo por qualquer caminho), isso prova que
não existe.
Resposta
O limite não existe.