Calcule a derivada parcial de primeira ordem:
f(x, y)=5 y \ln \left(x^{2}+y^{3}\right)+e^{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,y)=5y\ln\bigl(x^{2}+y^{3}\bigr)+e^{\,x^{2}+y^{2}}.
O conteúdo principal aqui é uso da regra do produto e da regra da cadeia para funções de duas variáveis.

Passo 2

Para obter \dfrac{\partial f}{\partial x} tratamos y como constante e derivamos termo a termo:
A derivada de 5y\ln(x^{2}+y^{3}) em relação a x é
5y\;\cdot\;\frac{1}{x^{2}+y^{3}}\;\cdot\;2x
pela regra da cadeia.
A derivada de e^{\,x^{2}+y^{2}} em relação a x é
e^{\,x^{2}+y^{2}}\;\cdot\;2x.
Somando os dois resultados, dá
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{10xy}{x^{2}+y^{3}}+2x\,e^{\,x^{2}+y^{2}}.

Passo 3

Para obter \dfrac{\partial f}{\partial y} usamos regra do produto no primeiro termo e tratamos x como constante:
– Derivada de 5y\ln(x^{2}+y^{3}):
\bullet derivando 5y 5\ln(x^{2}+y^{3}),
\bullet mais 5y vezes a derivada de \ln(x^{2}+y^{3}), que é \tfrac{1}{x^{2}+y^{3}}\cdot3y^{2}.
Juntando:
5\ln(x^{2}+y^{3})+\frac{15y^{3}}{x^{2}+y^{3}}.
– Derivada de e^{\,x^{2}+y^{2}} em relação a y é
e^{\,x^{2}+y^{2}}\;\cdot\;2y.
Somando:
\frac{\partial f}{\partial y} =5\ln(x^{2}+y^{3}) +\frac{15y^{3}}{x^{2}+y^{3}} +2y\,e^{\,x^{2}+y^{2}}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{10xy}{x^{2}+y^{3}}+2x\,e^{\,x^{2}+y^{2}}, \quad \frac{\partial f}{\partial y} =5\ln(x^{2}+y^{3}) +\frac{15y^{3}}{x^{2}+y^{3}} +2y\,e^{\,x^{2}+y^{2}}.

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