Calcule os limites:
\lim _{(x, y) \rightarrow(1,-2)} 5 x^{2}+3 x y

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(x,y)=5x^{2}+3xy\, e pede o limite quando o par (x,y) se aproxima do ponto (1,-2), ou seja:
\lim_{(x,y)\to(1,-2)} 5x^{2}+3xy.
Informações relevantes: a expressão é um polinômio em \,x e \,y (soma de termos do tipo constante vezes potências e produtos de x e y). A pergunta é apenas o valor desse limite.

Passo 2

Ideia que vamos usar (explicada passo a passo): funções polinomiais em variáveis reais são contínuas em todo ponto do plano. Isso significa que, se f é contínua em (a,b), então
\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y)=f(a,b).
Por que polinômios são contínuos? Porque:
  • As funções x\mapsto x e y\mapsto y são contínuas.
  • Potenciação x\mapsto x^{2} é obtenível por multiplicações de funções contínuas, logo é contínua.
  • Produto e soma de funções contínuas são contínuos.
    Aplicando essas regras, (x,y)\mapsto 5x^{2} e (x,y)\mapsto 3xy são contínuas, logo a soma 5x^{2}+3xy é contínua. Portanto podemos calcular o limite simplesmente substituindo (x,y)=(1,-2).

Passo 3

Calculemos o valor da função no ponto (1,-2) passo a passo:
f(1,-2)=5\cdot(1)^{2}+3\cdot(1)\cdot(-2).
Avaliar cada parte:
(1)^{2}=1,
5\cdot 1 = 5,
3\cdot 1\cdot(-2)=3\cdot(-2)=-6.
Somando:
5+(-6) = -1.

Passo 4

Verificação alternativa (intuição): se (x_n,y_n) é qualquer sequência com (x_n,y_n)\to(1,-2), então x_n\to1 e y_n\to-2. Pelas propriedades de limite (limite de soma e produto),
\lim_{n\to\infty} \big(5x_n^{2}+3x_n y_n\big)=5\cdot 1^{2}+3\cdot 1\cdot(-2)=-1.
Isso confirma que o limite ao longo de qualquer caminho vale -1, coerente com a continuidade.

Passo 5

Conclusão: como a função é contínua no ponto dado, o limite é igual ao valor da função em (1,-2), que calculamos ser -1.

Resposta

-1

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